宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文
知识之间的联系，拓展应用范围，解决实际问题.
“推广公式”是在掌握了课本中的几个基本公式后，进一步深化学习对公式进行推广运用，这样既巩固深化了所学知识，又能为解题带来很多方便.
2.3 提高中学生公式变形能力的意义
在数学知识体系中，基本概念、基本定理和基本公式是最重要的基础要素，在给定
条件的前提下，许多问题可以直接运用这些“基本”便可以求出来，所以掌握了上述三个“基本”，解决一般性的习题是比较容易的.但一些特殊类型的问题，由于给定条件不同、问题的类型不同及学生的掌握程度不同，就很难直接运用基本公式解题了，需要根据给定条件，对基本公式加以推导与等价变形，即通常指的“公式变形”来找到解题的捷径.其实，“公式变形”就是在原来公式的基础上变换成一种新的形式，或者将原公式进行一定的推广.解题者只要对原基本公式熟练掌握之后，根据题目中出现的公式形式或部分形式联想到原形公式，就能比较灵活地运用公式变形解题.将公式巧妙变形之后再用，不仅能使解题过程简捷，令人有赏心悦目之美感，而且能使学生避免沿袭思维的惯常定势,培养其创新思维、逆向思维及探究能力等.
学生在运用公式时，通常的弊病表现在一个“死”字上，即公式运用不灵活，将原公式进行变形的能力较差.因此，讲授数学公式时应加强公式变形的练习，不断提高学生解题中的变形能力，从而使学生掌握更多的解题技巧，真正达到对公式会学、会用的目的.
实际上，运用公式变形解题并不是特别难的事，关键是先掌握好原形基本公式，在 对其熟练掌握的情况下，就能把变形公式中的变形形式挖掘出来，从而顺利地解决问题.作为一名教师来说，在教学中应该有意识地培养学生分析问题的能力，有重点地引导学生学会观察题目中出现的变形公式与原形公式的相同之处，使学生能联想到所应用的公 式，产生解题思路，从而达到解题的目的.提高中学生解题中的公式变形能力，有助于提高学生解决问题的能力，特别是运算能力及利用运算推理的能力.所以，教学中注重公式变形能力的培养是非常重要的一个方面.
3 例举几种公式的变形应用
3.1 变形乘法公式，拓宽解题思路
乘法公式是初中数学中的重要公式之一，应用也很广泛.在学习整式乘法时，我们不仅要掌握每一个公式的结构特征，学会直接应用公式，而且要拓宽思路，学会观察，
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灵活将公式适当变形后再用，做到活学活用乘法公式.下以常见的平方差公式、完全平方公式举例解析如下： 3.1.1 平方差公式
（1） a2?b2?(a?b)(a?b)变形为a2?(a?b)(a?b)?b2 例1 计算9982
解 9982?(998?2)(998?2)?22?1000?996?4?996004
（2）构造条件，凑用平方差公式 例2 计算(2?1)(22?1)(24?1)?(264?1)?1
分析 通过观察，不难发现上式中有平方差公式的影子，只是缺少(2?1)这一项，所以可以添加上(2?1)，构造出平方差公式的条件形式，凑用平方差公式. 解 原式=(2?1)(2?1)(22?1)(24?1)?(264?1)?1 =(22?1)(22?1)(24?1)?(264?1)?1 =2128?1?1 =2128 3.1.2 完全平方公式
（1）(a?b)2?a2?2ab?b2的连续运用 例3 已知a?11??2，求a4?4的值. aa分析 题目中出现高次偶次方，则可自然想到连续运用完全平方公式求解. 解 ?a?
12124)?2?4a??2 ?24aa11其实，由上面的思路可知，a8?8、a16?16等的值均为2.
aa(a2?111??2，?(a?)2?(?2)2?4 则a2?2?2，再次平方得： aaa（2）逆用完全平方公式a2?2ab?b2?(a?b)2 例4 已知x2?y2?4x?6y?13?0，求xy的值.
分析 要求xy的值，关键是求出x和y的值，逆用完全平方公式，将x2?y2?4x?6y?13
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化为两个完全平方公式的和，利用完全平方公式的非负性即可求出x与y的值. 解 ?x2?y2?4x?6y?13?(x2?4x?4)?(y2?6y?9)?(x?2)2?(y?3)2?0
?x?2?0 y?3?0，即x??2 y?3 从而，xy?(?2)3??8 （3）完全平方公式的常见变形[3]
a2?b2?(a?b)2?2ab （3.1.2-1）
(a?b)2?(a?b)2?2(a2?b2) （3.1.2-2）
(a?b)2?(a?b)2?4ab （3.1.2-3）
例5 已知a?b?7，a2?b2?25，求ab与a?b的值.
(a?b)2?(a2?b2)49?25??12 解 由（3.1.2-1）得：ab?22由（3.1.2-3）得：(a?b)2?(a?b)2?4ab，?(a?b)2?49?48?1 ?a?b??1 例6 将长为64米的绳子剪成两段，每段都围成一个正方形，试问这两个正方形面积和
的最小值是多少？
解 设这两个正方形的边长分别为a和b,则这两个正方形的面积之和为a2?b2，
1又由完全平方公式的变形式（3.1.2-2）得：a2?b2?[(a?b)2?(a?b)2]，而
24a?4b?64即a?b?16，故(a?b)2?256为定值，所以，当a?b时，(a?b)2的值最
小为零，此时，a2?b2的值最小，最小值为128.
（4）完全平方公式的推广运用
(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac （3.1.2-4） 2(a2?b2?c2?ab?bc?ac)?(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2 （3.1.2-5）（3.1.2-6） (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3
例7 已知a?b?c?0，a2?b2?c2?4，求a4?b4?c4的值.
分析 由已知条件无法直接求得a4?b4?c4的值，可利用完全平方公式的推广式（3.1.2-4）将条件“升次”后得到结果.
解 ?(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac，其中a?b?c?0，a2?b2?c2?4
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?2ab?2bc?2ac??4 即 ab?bc?ac??2
又 (ab?bc?ac)2?a2b2?b2c2?a2c2?2ab2c?2abc2?2a2bc
?a2b2?b2c2?a2c2?2abc(a?b?c)
所以，a2b2?b2c2?a2c2?(?2)2?4
而(a2?b2?c2)2?a4?b4?c4?2a2b2?2b2c2?2a2c2 即42?a4?b4?c4?8 ，故a4?b4?c4?8.
例8 已知数a、b、c满足a2?b2?c2?9，求代数式(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2 的最
大值.
解 由完全平方公式的推广式（3.1.2-5）得：
(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?2(a2?b2?c2?ab?bc?ac) ?3(a2?b2?c2)?(a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac) ?27?(a?b?c)2?(a?b?c)2?0 ?27?(a?b?c)2?27 即代数式(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2的最大值为27. 例9 解方程(a?x)3?(b?x)3?(a?b?2x)3
分析 题目中出现三次方，自然要联想到完全平方公式的推广式（3.1.2-6），移项后得到立方和（差）公式：a3?b3?(a?b)3?3ab(a?b)（a3?b3?(a?b)3?3a2b?3ab2） 则本题迎刃而解.
解 ?(a?b?2x)3?[(a?x)?(b?x)]3 而由完全平方公式的推广式（2.1.2-6）知： (a?x)3?(b?x)3?[(a?x)?(b?x)]3?3(a?x)(b?x)[(a?x)?(b?x)]
?原方程等价于
[(a?x)?(b?x)]3?3(a?x)(b?x)[(a?x)?(b?x)]?[(a?x)?(b?x)]3 即 3(a?x)(b?x)[(a?x)?(b?x)]?0 易解得：x1?a，x2?b，x3?1(a?b). 2活用数学乘法公式的例子很多，需要我们在解题过程中注意发现、注意总结与不断完善，从而步入灵活掌握并应用数学知识的新天地.
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3.2 变形三角公式，熟练恒等变换
三角公式是解决三角问题的重要工具,公式的应用不能满足于套用公式直接求解,必须对公式进行多角度的研究,从条件或结论中捕捉公式的影子,最大限度地发挥公式的潜在功能,多方位灵活地运用公式,真正促进知识与能力的转化.当然，三角公式有许多，下仅以二倍角公式为例来浅析其变形应用.
（1）由两角和的余弦公式cos(???)?cos?cos??sin?sin?，在令???的前提下得到了二倍角的余弦公式:cos2??cos2??sin2?,对该公式因式分解再添角可得如下变形公式[4]：
cos2??(cos??sin?)(cos??sin?) ?2cos(???)(??)44?
?2sin(??)(??)44例10 求2cos3??7?5?19?cos?2coscos?cos的值. 105242410??解 由上式可得，
原式=2cos(=cos =cos =
?20??4)cos(?20??4)?2cos(?24??4)cos(?24??4)?cos?10
?10?cos?12?cos?10
?12
2?6 4（2）再由平方关系sin2??cos2??1，又可得到下面的两个变形公式[5]：
cos2??2cos2??1 cos2??1?2sin2?
这两个变形公式的作用，一是通过升幂可化复角为单角，二是必要时可消去式子中的常数有利于和差化积.
例11 求函数f(x)?cos2x?4sinx的值域.
分析 要求该函数值域，首先要化成同名函数，然后配方成二次函数再求值域. 解 f(x)?cos2x?4sinx?1?2sin2x?4sinx??2(sinx?1)2?3
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