宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文
??1?sinx?1 ??5?f(x)?3
故f(x)?cos2x?4sinx的值域是[?5 , 3]. 例12 将1?sin??cos?化成乘积的形式.
分析 要将原式化成乘积的形式，需出现相同的公因式，想到用二倍角公式使之出现相 同公因式cos?2，同时消去常数1.
解 1?sin??cos?=1?2sin=2cos?2cos?2?2cos2?2?1
?2(sin??cos) 22?=22cos?sin(?) 224??（3）将公式cos2??2cos2??1与cos2??1?2sin2?再变形逆用可得到降幂公式：
cos2??1?cos2?1?cos2?，sin2?? 22降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般需采用降幂处理的方法，请看下面的例题：
例13 求cos420??cos440??cos480?的值[6].
1?cos2?， 21?cos2?21)?(1?2cos2??cos22?) 所以cos4??(241111?cos4???cos2??? 4242311??cos2??cos4? 828311 则原式??3?(cos40??cos80??cos160?)?(cos80??cos160??cos320?)
82895 ??(cos40??cos80??cos160?)
8895 ??(2cos60?cos20??cos20?)
889 ?
8解 因为cos2?? （4）由上面的降幂公式再继续施行开方运算变形，又可得半角公式： cos
?2??1?cos??1?cos?，sin?? 2228
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对于“半角”的理解是相对的，要注意半角公式中根号前的符号，由角象限确定，若不能确定出角
?所在的2?所在的象限，则根号前应同时保留正、负两个符号. 21111??cos2?. 2222例14 已知450????540?，化简
分析 化简本题的关键是要去根号，而去根号的关键是将被开方数写成平方形式，并要注意角的象限，由此想到用到升幂公式及半角正、余弦公式. 解 ?450????540?，?225??原式 =
?2?270?，即?是第二象限角，
?是第三象限角，则 211111111?cos2?=?cos?=(1?cos?) ?(1?cos2?)=
22222222 =
?1??(1?1?2sin2)=sin2=?sin
2222 三角公式的灵活变形应用是三角恒等变换的一种主要方法与技巧，由于三角函数的恒等变换的公式有很多，从而使得三角问题的解决具有灵活性、多样性与技巧性的特点，要求我们具有较好的思维能力，熟练掌握变换的基础与依据，深刻理解公式，抓住公式特点，灵活变形运用，才能顺利而简洁地解决问题.
3.3 变形递推公式，巧求数列通项
对于由递推公式确定数列通项公式的问题，通常的做法是通过对递推公式变形，转化为等差数列或等比数列来加以解决，下面分类举例说明： （1）线性分式型
对于这种类型的题目，常用取倒数法将原递推公式变形. 例15 已知数列{an}中，a1?an3，an?1?，求{an}的通项公式. 52an?12a?11511?n??2，则易知{}是以为首项、
3anan?1anan解 对原递推公式取倒数变形为：
以2为公差的等差数列.所以，（2）an?1?an?f(n)型
3156n?1??2(n?1)?，故an?.
6n?1an33对于这种类型的题目，常将an?1?an?f(n)移项变形为an?1?an?f(n)，用累加法：
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an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1??f(i).
i?1n?1例16 在数列{an}中，已知an?12n?1an，a1?2，求其通项公式. ?n?1an?21an?1?11?n?1，化为（2）型， an2解 由（1）知原递推公式取倒数可变形为：
1an?111?n?1， an2再移项变形为?所以，
111111111111??2，??3，??4，……， ??n， a2a12a3a22a4a32anan?12将以上(n?1)个式子左右两边分别相加得：
111111??2?3?4???n， ana12222即
111111??2?3?4???n ana12222 ?11111?2?3?4???n 2222211(1-n)2?1?1 ?212n1-22n?n所以，an?. 12?11?n21（3）an?1?f(n)·an型
对于这种类型的题目，常将an?1?f(n)·an变形为
n?1anan?1a2?a1·?f(i). ··…·an?an?2an?1a1i?1an?1?f(n)，用累积法： an例17 已知数列{an}中，a1?解 当n?2时，由
12n?3，an?·an?1（n?2），求数列的通项公式an. 32n?1anaaa?n·n?1·…·2得：
an?2a1an?1a110
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an? 当n?1时，
111?31 ??2(2n?1)(2n?1)34n?1?1?a1 34n2?11 所以，an?2 （n?N?）
4n?1（4）an?1?pan?q型
对于这种类型的题目，常见的有以下三种变形方法[7]：
①将原式配凑成an?1?an?p(an?an?1)的形式，再用累加法求通项an. ②将原式变形为an?1?qq?p(an?)，再根据等比数列的相关知识求an. p?1p?1③将原式变形为
an?1ananq，先用累加法求出，再求an. ??n?1nn?1npppp例18 在数列{an}中，a1?1，当n?2时，有an?3an?1?2，求数列的通项公式an. 解 由已知递推公式an?3an?1?2得：an?1?3an?2（n?2），将这两个式子左右两边 分别相减，即可得到变形递推公式an?1?an?3(an?an?1)，因此，数列{an?1?an}是以
a2?a1?4为首项，以3为公比的等比数列，则an?1?an?4?3n?1， 即 3an?2?an?4?3n?1，所以 an?2?3n?1?1. （5）an?1?pan?qn型[8]
对于这种类型的题目，可将原式变形为
an?1pan1an·，引入辅助数列，??b?nnn?1nqqqqq得bn?1?p1bn?，然后可归结为类型（4）求解. qqb1ba?a?，·（n?2），写出用nn?11?b(1?b)2(1?b)n?1例19 已知b?0且b??1，a1?n和b表示的{an}的通项公式.
解 将已知的递推公式两边同时乘以(1?b)n，得：
(1?b)n·an?b(1?b)n?1·an?1?
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b 1?b宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文
又设xn?(1?b)n·an，于是，原递推公式可化为：xn?bxn?1?b， 1?bb?bn?1b?bn?1仿类型（4），可解得xn?， 故an?. n?1(1?b)(1?b)(1?b)(1?b)（6）an?1?pan?f(n)型
对于这种类型的题目，通常引入一些尚未待定的系数转化命题结构，然后经过变形与比较，把问题转化为基本数列（等差或等比数列）求解. 例20 设数列{an}满足：a1?1，an?1an?1?2n?1（n?2），求通项公式an. 2解 设bn?an?An?B，则an?bn?An?B，an?1?bn?1?A(n?1)?B，
11an?1?2n?1，所以：bn?An?B?[bn?1?A(n?1)?B]?2n?1化为了（4）型，221111111则bn?bn?1?(A?2)n?(A?B?1)，设A?2?0，A?B?1?0，
22222221解得，A??4，B?6，所以，bn?bn?1且bn?an?4n?6，又{bn}是以3为首项、
2133以为公比的等比数列，故有bn?n?1，由此得：an?n?1?4n?6. 222又an?（7）an?2?pan?1?qan型
对于这种类型的题目，也通常引入一些尚未待定的系数，将原式变形为
[9]an?2??an?1??(an?1??an)，构造等比数列求解.
例21 已知数列{an}中，a1?1，a2?2，an?2?解 在原递推公式an?2?21an?1?an，求an. 3321an?1?an两边同时减去an?1，得到新的递推公式: 331an?2?an?1??(an?1?an)，
31所以{an?1?an}是以a2?a1?1为首项、以?为公比的等比数列，
31则an?1?an?(?)n?1，令该式中的n?1 ,2 ,3 ,?(n-1)，再把这（n?1）个式子左右两边
3分别相加，得：
111an?a1?1?(?)?(?)2???(?)n?233331所以， an?1?[1?(?)n?1].
4311?(?)n?1313??[1?(?)n?1]
1431?3
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