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牛顿问题
一．
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。解“牛吃草”问题的主要依据：
1. 草的每天生长量不变；
2. 每头牛每天的食草量不变；
3. 草的总量?草场原有的草量?新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 4. 新生的草量?每天生长量?天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
1. 设定1头牛1天吃草量为“1”；
2. 草的生长速度?(对应牛的头数?较多天数?对应牛的头数?较少天数)?(较多天数?较少天数)；
3. 原来的草量?对应牛的头数?吃的天数?草的生长速度?吃的天数； 4. 吃的天数?原来的草量?(牛的头数?草的生长速度)； 5. 牛的头数?原来的草量?吃的天数?草的生长速度。
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题、资源量问题、部分行程问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
二．例题精讲
【例 1】 有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18 头牛，那么10 天就把草吃完
了；如果放养24 头牛，那么7 天就把草吃完了。 （1）如果放养32 头牛，多少天可以把草吃完？ （2）要放养多少头牛，才能恰好14 天把草吃完？
【解析】 这片牧场上的牧草数量每天都在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。
因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。这是最常见的牛吃草问题，这类问题的难点在于牛吃草的同时，草还在生长. 假设一头牛一天吃1 个单位的草，会发现两种放养方法吃的总草量不同。为什么会这样呢？因为两次草生长的天数不同，于是就可以算出草生长的速度了。
知识概要
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解答：设一头牛一天吃的草量为1 份． 18 头牛10 天一共吃草：18×10 =180（份）；24 头牛7 天一共吃草：24× 7 =168 （份）．如图，对比两次吃草的总量，吃的总量不同是因为18 头牛比24 头牛多吃了3 天（草多生长了3 天），而草每天生长：(180 ?168)÷ 3 = 4（份），于是草地原有草的总量为：180 ? 4×10 =140（份）．（1）放养的32 头牛中有4 头牛每 天把新长的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要140 ÷ (32 ? 4)= 5（天）．（2）要恰好14 天吃完，那么最后吃的总草量为140 + 4×14 =196（份），因此要在14天内吃完需要196 ÷14 =14（头）牛。
从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的；同样，每天牛吃的草量也是不变的。这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的数量是a份，设原来的草的数量为b份，那么我们可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a
总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草也在变化，但是在匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。
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【例 2】 放羊，如果放38 只羊，需要25 天把草吃完；如果放30 只羊，需要30 天把草吃完。如
果放20 只羊，这片牧场可以吃多少天？
【解析】 本题在羊吃草的同时，草也在不断的减少，这也是牛吃草问题的一种. 同前面的问题一样，
我们还是要对比一下两个已知条件，算出草的减少速度和原有草总量． 解答：设一只羊一天吃的草量为1 份．供38 只羊吃25 天，则吃草总量：38× 25 = 950（份）．供30只羊吃30 天，则吃草总量：30× 30 = 900（份）．如图，对比两次吃草的总量，发现5 天草减少的量为950 ? 900 = 50 （份），因此草每天减少的量为：50 ÷ 5 =10（份），原有草的总量为：950 +10× 25 =1200（份）．现在有20 只羊，那么每天草地除了被羊吃掉20 份草以外，还会自己减少10 份草，因此这片牧场可以吃1200 ÷ (20 +10)= 40（天）。
【巩固】 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草
可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?
【解析】 与例上面不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样
可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量。
【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地
上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：?20?5?15?6???6?5??10，
原有草量为?20?10??5?150；10天吃完需要牛的头数是：150?10?10?5(头)．
【例 4】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃
草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
【解析】 这道题既有牛又有羊，只需将牛羊统一，然后按照基本的牛吃草问题求解即可。
设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为?16?20?20?12???20?12??10，原有草量为：?16?10??20?120．
10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120?15?8天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．
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三．牛吃草问题知识衍变
【例 1】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样
多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入
3?30?90。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入5?15?75，15分钟到来的人数 90?75?15，每分钟到来15?15?1。8：30以前原有人3?30?1?30?60。 所以应排了60?1?60（分钟），即第一个来人在7：30
．
【例 2】 快、中、慢三车同时从A地出发沿同一公路开往B地，途中有骑车人也在同方向行进，这
三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？
【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，
所以骑车人速度是：(600?14?800?7)?(14?7)?400(米/分)，开始相差的路程为：(600?400)?14?2800（米），所以中速车速度为：2800?8?400?750(米／分)．
【例 3】 甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每
小时48千米．有一辆卡车同时从B地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．
【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减
少的速度。所以卡车速度为：(60?6?48?7)?(7?6)?24（千米/时），全程：(60?24)?6?504（千米），丙车速度为：504?8?24?39（千米/时）
【例 4】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，
如果打开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空．
【解析】 本题是牛吃草问题的变形，设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量
为：(7?18?9?9)?(18?9)?5，半池水的量为：(9?5)?9?36，所以一池水的量为72． 如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72?(15?5)?7.2小时，即7小时12分钟．
【例 5】 北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个
不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？
【解析】 此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水
量为(1?30?2?10)?(30?10)?0.5，原有的水量超过安全线的部分有(1?0.5)?30?15． 如果要用2个小时使水位降至安全线以下，至少需要开15?2?0.5?8个泄洪闸．
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【例 6】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1
米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）
【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了2?4?1?3?5米路，所以从杯中流
出的速度是1?5?0.2（杯/米），于是1桶水原有水量等于3?3?0.2?2.4杯水，所以小方要2.4?(1?3?0.2)?6次才能把第三个桶装满。
解法一：列方程求解， 杯子漏水量与路程成正比，可以设一个杯子每走一米漏水量为x，同时假定一杯水量为单位1.
解法二：把一杯水看成牧场，每个杯子都有一个洞口，那么把洞口看成是牛（实际上每片牧场只有一头牛），同时流出的水量与路程成正比，所以把路程看成时间。运送几次，需要几个满杯，可以看成几片牧场，各个杯子剩下水量加起来就是一只桶的容量。这时假设一个洞口（也就是一只杯子）走一米路，流出去的水量为单位1.
【例 7】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，
5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)
【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”，那么一台皮带运输机1小时的工作量为
?28?3?12?5???5?3??12，每个仓库存放的面粉总量为：?12?12??5?120．那么，丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要120?2?12?2?36(人)。
【例 8】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，
6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？
【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，
工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为?160?10?250?6???10?6??25，原有砖的数量为：?250?25??6?1350．
如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350?950?400的原有的砖未用，变成120?5?125人来砌砖，还需要：400??125?25??4(天)。
【例 9】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙，
14天可以把砖用完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天
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