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第三章 数列 二 等差数列
【考点阐述】
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 【考试要求】
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 【考题分类】
（一）选择题（共4题）
2{a}aS?n1.（安徽卷文5）设数列n的前n项和n，则8的值为
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
A 【解析】
a8?S8?S7?64?49?15.
an?Sn?Sn?1(n?2)即可得出结论.
【方法技巧】直接根据
2.（福建卷理3）设等差数列
?an?的前n项和为Sn,若a1??11,a4?a6??6,则当Sn取最
小值时,n等于
A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A
【解析】设该数列的公差为d，则
a4?a6?2a1?8d?2?(?11)?8d??6，解得d?2，
所以
Sn??11n?n(n?1)?2?n2?12n?(n?6)2?36S2，所以当n?6时，n取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的
求法及计算能力。
3.（全国Ⅱ卷理4文6）如果等差数列
?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7?
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
a3?a4?a5?3a4?12,a4?4,?a1?a2???a7?7(a1?a7)?7a4?282
4.（重庆卷文2）在等差数列
?an?中，a1?a9?10，则a5的值为[来源:Www.ks5u.com]
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10
【答案】A
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【解析】由角标性质得
a1?a9?2a5，所以a5=5.
（二）填空题（共3题） 1.（辽宁卷文14）设
Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3?3，S6?24，则
a9? 。
3?2?S?3a?d?331??2??a1??1?S?6a?6?5d?24?61d?2，?a9?a1?8d?15.K^S*5U.C# ?2解析：填15. ?,解得?2. （浙江卷理15）设满足
a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列?an?的前n项和为Sn，
S5S6?15?0，则d的取值范围是__________________ .
22SS?15?02a?9ad?10d?1?0,故5611解析：因为 所以(5a1+10d)(6a1+15d)=0,即
(4a1?9d)2?d2?8?0,?d2?8，则d的取值范围是(??,?22)?(22,??).
3.（浙江卷文14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表
中的第n行第n+1列的数是 。
解析：第n行第一列的数为n，观察得，第n行的公差为n，所以第n0行的通项公式为
an?n0??n?1?n0，又因为为第n+1列，故可得答案为n2?n，本题主要考察了等差数
列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题。 （三）解答题（共8题） 1.（北京卷文16）已知（Ⅰ）求
|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。
|an|的通项公式；
|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式
（Ⅱ）若等差数列
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2.（全国Ⅰ卷文17）记等差数列
?an?的前n项和为Sn，设S3?12，且2a1,a2,a3?1成等
比数列，求
Sn.
3.（全国Ⅰ新卷文17）设等差数列（Ⅰ）求（Ⅱ）求
?an?满足a3?5，a10??9。
?an?的通项公式；
?an?的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。
解： （1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，aw=-9得
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{a1?2d?5a1?9d??9 解得
{d??2a1?9
数列{am}的通项公式为an=11-2n。 ……..6分
n(n?1)2d=10n-n2。 (2)由(1) 知Sm=na1+
因为Sm=-(n-5)2+25.
所以n=5时，Sm取得最大值。 ……12分 4.（山东卷理18）已知等差数列（Ⅰ）求
?an?满足：a3?7，a5?a7?26，?an?的前n项和为Sn．
an及Sn；
12a?1(n?N*)，求数列?bn?的前n项和Tn． n（Ⅱ）令bn=
【解析】（Ⅰ）设等差数列
?an?的公差为d，因为a3?7，a5?a7?26，所以有
?a1?2d?7??2a1?10d?26，解得a1?3,d?2，
所以
an?3?（2n?1)=2n+1；Sn=
3n+n(n-1)?222=n+2n。
1111111=??(-)22a?2n+1a?14n(n+1)（2n+1)?14nn+1nn（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，
n11111111?(1-+?+?+-)?(1-)=T4(n+1)， 223nn+1=4n+1所以n=4n?b?T即数列n的前n项和n=4(n+1)。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟
练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 5.（山东卷文18）已知等差数列? （Ⅰ）求an 及Sn；
an?a满足：a3?7，a5?a7?26.?n?的前n项和为Sn.
bn?（Ⅱ）令
1an2?1（n?N）,求数列??bn?的前n项和Tn.
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟
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练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】（Ⅰ）设等差数列
?an?的公差为d，因为a3?7，a5?a7?26，所以有
?a1?2d?7??2a1?10d?26，解得a1?3,d?2，
所以
an?3?（2n?1)=2n+1；Sn=
3n+n(n-1)?222=n+2n。
1111111=??(-)22a?2n+1a?14n(n+1)（2n+1)?1（Ⅱ）由（Ⅰ）知n，所以bn=n==4nn+1，
n11111111?(1-+?+?+-)?(1-)=T4(n+1)， 4223nn+14n+1n所以==n?b?T即数列n的前n项和n=4(n+1)。
6. （陕西卷理16文16）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等
比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn. 解由题设知公差 由解得故
的通项
,
由等比数列前n项和公式得7.（四川卷文20）已知等差数列（Ⅰ）求数列
n?1*b?(4?a)q(q?0,n?N)，求数列{bn}的前n项和Sn nn（Ⅱ）设
成等比数列得
(舍去)
{an}的前3项和为6，前8项和为-4。
{an}的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*m
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8.（浙江卷文19）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足
S5S6+15=0。
S5=5，求S6及a1；
（Ⅰ）若
（Ⅱ）求d的取值范围。
解析：本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。
-15S(Ⅰ)解：由题意知S6=5=-3,
A6=S6-S5=-8
所以
?5a1?10d?5,??a1?5d??8.
解得a1=7
所以S6= -3,a1=7
(Ⅱ)解：因为S5S6+15=0,
所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2a12+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d2≥8.[
故d的取值范围为d≤-22或d≥22.
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