所以b1?b2???bn?2n?2[(?)?(?)???(? =2n?3?综上，2n?b1?b2??bn?2n?3,n?1,2,?.
111312141n1)] n?222??2n?3. n?1n?236．（江苏卷）设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn?an?an?2，cn?an?2an?1?3an?2（n=1,2,3,…），证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn?bn?1（n=1,2,3,…）
本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
证明：必要性，设是{an}公差为d1的等差数列，则
bn+1–bn=(an+1–an+3) – (an–an+2)= (an+1–an) – (an+3–an+2)= d1– d1=0 所以bn?bn+1 ( n=1,2,3,…)成立。
又cn+1–cn=(an+1–an)+2 (an+2–an+1)+3 (an+3–an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,…)
所以数列{cn}为等差数列。
充分性： 设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn?bn+1 ( n=1,2,3,…) ∵cn=an+2an+1+3an+2 ①
∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4 ② ①-②得cn–cn+2=（an–an+2）+2 (an+1–an+3)+3 (an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2 ∵cn–cn+2=( cn–cn+1)+( cn+1–cn+2)= –2 d2
∴bn+2bn+1+3bn+2=–2 d2 ③ 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=–2 d2 ④ ④-③得（bn+1–bn）+2 (bn+2–bn+1)+3 (bn+3–bn+2)=0 ⑤ ∵bn+1–bn≥0, bn+2–bn+1≥0 , bn+3–bn+2≥0, ∴由⑤得bn+1–bn=0 ( n=1,2,3,…)，
由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,…)则an–an+2= d3(常数). 由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+1–3d3 从而cn+1=4an+1+2an+2–5d3 ，
两式相减得cn+1–cn=2( an+1–an) –2d3
11因此an?1?an?(cc?1?cc)?d3?d2?d3(常数) ( n=1,2,3,…)
22所以数列{an}公差等差数列。
【解后反思】理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.