第六章 数列
第四讲 数列的通项公式
考纲解析
解决数列问题时，求出通项公式是关键，在熟练掌握求等比、等差数列通项公式的同时，还应掌握由递推关系式求通项公式的方法，如用累加法、累乘法、构造法等。
考点梳理
1．形如an+1= an+?（n）时，常用累加法去解决。 2．当形如an+1= ?（n）· an时，转化为3．构造等差、等比数列求通项公式。 4．运用前n项和Sn与an的关系求通项公式。
an?1?f(n)，用累乘法去解决. an?S1(n?1)a?Sn?a1?a2???an． n?
S?S(n?2)n?1?n课前热身
an1. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a5＝ ( )
2an＋3
1
A．108 B.
1081
C．161 D.
161
??3n＋1 (n为奇数)
2．已知数列的通项an＝?，则a2009－a2010等于 ( )
?2n－1 (n为偶数)?
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
3．已知数列{an}中，Sn?3?1，则an=__________． 4．已知数列{
n111}是等差数列，且a1?，a3?，则an=__________． an265．数列前n项和为Sn=2n +3n，则a4?a5?a6?a7＝____________.
重点难点方法
一、由递推关系求通项公式
例1．已知数列?an?中，a1?0，an?1?an?2n，?n?N*?；求通项公式an。
思路点拨：当形如an+1= an+?（n）时，常用累加法去解决。 由an?1?an?2n得a2?a1?2?1，
1
a3?a2?2?2，??，an?an?1?2(n?1)，把上述各式相加可得an．
听课笔记：
归纳点评：一些特殊的递推关系，可用特殊的方法求解，如：当形如an+1= an+?（n）时，常用累加法去解决； 变式训练：
n已知数列?an?中，a1?3，an?1?an?2?3，求通项公式an。
n?1an?1?n≥2?；求通项公式an。 naaan?11a2a3n?1n?1思路点拨：由an?，所以2?,3?,4?,?,n? an?1，得n?an?1na12a23a34an?1nn 把上述各式左右两边分别相乘可得an
例2．已知数列?an?中，a1?1，an?听课笔记：
归纳点评：当形如an+1= ?（n）· an时，转化为
an?1?f(n)，用累乘法去解决， anan?
anan?1a????2?a1?f(1)?f(2)???f(n?1)。 an?1an?2a1变式训练：已知a1?3，an?1?3n?1an (n?1)，求an。 3n?2
二、构造等差、等比数列求通项。 例3．设数列?an?满足a1?0，且
11??1，求?an?的通项公式。
1?an?11?an思路点拨：令bn?11，则bn?1?，得bn?1?bn?1，数列?bn?是公差为1的等差数1?an1?an?1列。
听课笔记：
归纳点评：观查题目形式，经过变形，构造等差、等比数列求解。
变式训练：已知数列满足a1=1，an?1?an?
例4．已知数列?an?中，a1??anan?1，求an；
11，an?1?an?1?n?N*?，求通项公式an。 222
1111( an+q)，展开得an?1?an?q，系数比较得?q?1，222211求出q??2，原式可配成(an+1－2)=( an－2)，构造公比为的等比数列?an?2?进行求解。
22思路点拨：设原式可配成( (an+1+q)=
归纳点评：形如an?1?kan?d、an?1?kan?d（k,d为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。当形如an+1= Kan +d（K、d为常数）时，常用待定系数法化为(an+1+q)= K( an+q),转化为一个公比为K的等比数列{ an+q }去解决； 当形如
nan?1?kan?bn时，常两边同除以bn?1，转化为上一类型求解。
变式训练：
在数列?an?中，a1?1，an?1?2an?2．设bn?nan．证明数列?bn?是等差数列并求an。 n?12
三、an与Sn的关系求通项 例5．设数列{an}中，Sn=－4n2＋25n＋1
(1)求通项公式； (2)求a10＋a11＋a12＋…＋a20的值； (3)求Sn最大时an的值. 思路点拨：（1）利用an??用二次函数性质求解。 听课笔记：
（?S1n?1)求解；(2) a10＋a11＋a12＋…＋a20= S20－S9；(3)利
?Sn?Sn?1(n?2)?S(n?1)归纳点评：任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an??1
?Sn?Sn?1(n?2)若a1适合an，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.
变式训练：
2
已知数列{an}的前n项和Sn＝n－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
及时突破
1．(2011四川卷文9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n≥1),则a6=
A.3×4 B.3×4+1 C.4 D.4+1
?2．已知数列?an?中，an＞0,且a1＝３，an?1＝an＋１（n∈N），则an=_________
4
4
4
4
3．（2011辽宁卷）已知数列?an?满足a1?33,an?1?an?2n,则
4．已知a1an的最小值为__________. n?1,an?3an?1?2，通项公式an=____________.
5.(2011新课标卷) 设等差数列?an?满足a3?5，a10??9。
3
（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）求?an?的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。
课时训练
一、选择题
1．若数列?an?的前n项和为Sn??n2，则这个数列（ ）
A．是等差数列，且an?2n?1 B．不是等差数列，但an?2n?1 C．是等差数列，且an??2n?1 D．不是等差数列，但an??2n?1 2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 ( )
n(n－1)n(n＋1)n(n＋2)
A.an＝n2－n＋1 B.an＝ C.an＝ D.an＝
2223．在等比数列?an?中，若an?0，a1a9?64，a4?a6?20，则an? A．2n?2
B．28?n
C．2n?2或28?n
D．22?n或2n?2
4．对于数列｛a n｝，“a n+1＞∣a n∣（n=1，2…）”是“｛a n｝为递增数列”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
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C． 必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在数列?an?中，a1?1，an?0，an?1?an?4，则an?
22 A．4n?3
B．2n?1
C．4n?3 D．2n?1
6．（2011四川卷）数列?an?的首项为3，?bn?为等差数列且bn?an?1?an(n?N*)．若则
b3??2，b10?12，则a8?
A．0
二、填空题
B．3 C．8 D．11
7. 若数列{an},a1?11，an?1?an?2， (n∈N), 则通项an=________ 2n?n28.数列{an}中，a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n，则a3?a5?______
9.数列?an?中，三、解答题
1111a1?2a2?3a3???nan?2n?5，则an? ． 22224
10. 设数列{an}的前项的和Sn=
1（an-1） (n?N?)． 3(Ⅰ)求a1；a2； (Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．
11. 已知数列?an?的首项a1?
12.已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).
12，其前n项和Sn?nan?n?1?．求数列?an? 的通项公式． 2
（I）证明：数列?an?1?an?是等比数列；（II）求数列?an?的通项公式；
参考答案：
考点梳理
课前热身
a11a21a31a41
1．选D.a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.
2a1＋352a2＋3172a3＋3532a4＋3161
2．选C.a2009＝3×2009＋1＝6028；a2010＝2×2010－1＝4019.故a2009－a2010＝6028－4019＝2009.故应选C.
3n?1 3．?Sn?3n?1,Sn?1?3n?1?1，?an?(3n?1)?(3n?1?1)?3n?3n?1?(3?1)3n?1?2?4．令bn?111，则b1?2,b3?6，公差为２，bn?2?(n?1)?2?2n，即an? ??2n，anan2n5．a4?a5?a6?a7?S7?S3?132 重点难点方法
例1．解：∵an?1?an?2n，得a2?a1?2?1，a3?a2?2?2，??，an?an?1?2(n?1)， 上述各式两边分别相加得an?a1?2?1?2?2???2(n?1)?2?
变式训练：
n解：∵an?1?an?2?3，∴an?1?an?2?3，得a2?a1?2?3，a3?a2?2?3，??，
(1?n?1)(n?1)?n2?n
2n12 5