注：①、其中区域上的枢纽和超市数均分配到相邻区域。
②、地铁和超市对人口流量的比例按高峰时期人口流量的比例计算，地铁：
超市=4500：3000=3：2。
2、模型分析
这是一个具有一般性，又有代表性的网点规划问题，鉴于这一问题所考虑因素比较多，需要在多因素中进行比较，综合评价。我们利用层次分析法做出各个评价指标所占比重，又有交通枢纽和人口流量对网点数的分布最重要，所以应优先考虑两者，之后再考虑人口密度、面积、返回车数，根据这一考虑，模型如下：
网点布局方便居民使用 返交人人面还通口 流积车枢密 量数纽度C3 C2C5C4C1 T3T5T6T7T8T2T41
各因素的成对比较矩阵如下：
28??15/64?6/51?539??37? A=?1/41/51??1/21/31/315????1/81/91/71/51?? TTTTTTTTT
利用matalab软件计算A的特征根，特征向量得： >> [x r]=eig(A) x =
4
0.5848 0.5532 - 0.0659i 0.5532 + 0.0659i 0.7494 0.7494 0.7289 0.6961 0.6961 -0.3847 - 0.4833i -0.3847 + 0.4833i 0.2875 -0.1541 + 0.3704i -0.1541 - 0.3704i -0.0432 + 0.0676i
-0.0432 - 0.0676i
0.2027 -0.1733 - 0.1079i -0.1733 + 0.1079i 0.1557 - 0.1296i
0.1557 + 0.1296i
0.0532 -0.0193 - 0.0452i -0.0193 + 0.0452i -0.0769 + 0.0584i
-0.0769 - 0.0584i
r =
5.4269 0 0 0 0
0 -0.1496 + 1.4973i 0 0 0
0 0 -0.1496 - 1.4973i 0 0 0 0 0 -0.0638 + 0.1013i 0 0 0 0 0 -0.0638 - 0.1013i
所以A的最大特征根为：v=5.4269
其对应特征向量为：?1=[0.5848 0.7289 0.2875 0.2027 0.0532] 归一化后得权向量为：W=[0.3149 0.3925 0.1548 0.1091 0.0287] 接下来对A进行一致性检验:
一致性指标CI=(v-n) ?(n-1)=0.106725
一致性比率：CR=CI?RI =0.095<0.1（其中RI参考《数学模型》高等教育
出版社P228，知当n=5时，RI=1.12）
所以一致性检验通过，即可用特征向量作权向量
?0.1944?0.0611??0.2500?0.1389C=??0.0556??0.1185?0.1852???0.00740.03580.03580.03580.13130.07160.24580.19810.24580.10210.14230.16780.08640.07470.09810.24520.08340.09430.09430.09430.17730.09430.09410.09410.25717/240?0??1/80??11/60? ?1/24?21/60?7/60??4/15??C的行向量为各个区域在每个评价指标（C1—C5）下的评价数据 记向量B为各个区域网点数占总网点数的权重，其各分量计算式如下：
B=CW’
5
将其归一化后得：
B=[0.100040.065500.129190.133090.068590.169430.18740.14716]
五、 求解模型
第一题
①、网点分析
对于现有网点布局根据以上计算的区域权重，每个区域的网点个数记 为U=17?B=[1.7 1.1 2.2 2.3 1.2 2.9 3.2 2.5]
各区域车辆数记为向量H=600?B=[61.3 39.4 77.64 79.98 41.22 98.34
113.22 88.44]
由以上讨论知U可看作各个区域网点数的数学期望，所以评价各区域网点个数分
(Ni?Ui)2布的标准可记为j=?,j表示各个区域中网点数偏离数学期望的程
Uii?18度，j越小，偏离程度越小，网点布局越优化，故?ji表示评价该城区整体网点
i?18布局的优化标准。Ni表示现第i个区域的现有网点数。
定理（Pearson）：不论总体服从什么分布，Pearson ?统计量?=?22ki?1(fi?npi)2
npi的近似分布是?2（k-r-1），其中r是被估计参数的个数。
由皮尔逊定理知，j是服从卡方分布的，?1??(k?1),取定α=0.05，将现有网点数据带入j=3.485>?1?0.052(8?1) =2.17，说明偏离程度太大，故现有网点分布不合理。
对比现有网点分布及以上讨论，分析其具体原因：
2T显然，在T2、T3、T5、T6、8区域网点分布与所讨论的评价标准有明显出入，
对于T2，面积比较大，现有网点系统未对其分布网点，即忽略了面积因素，然而系统评价标准中面积占15.48%的比重。 对于
T3交通枢纽数及面积因素都比较大，而现有网点亦未考虑这两者的比重，
T3类似。
从而对其分布网点较少。 对T5，分析同T2、
6
对于
T6，面积比较小，现有网点分布网点数较多，主要考虑了人口流量因素，
T8，人口密度较大，所以其网点分布在同等因素下应比其它区域网点分布
然而弱化了交通枢纽及面积因素，所以导致分布不合理。 对于
较多。
②、车辆数分析：
在现有网点合理的前提下讨论各网点车辆数分布是否合理
表二：影响各网点车辆数的评价指标及相应衡量值 人口流量 交通枢纽 人口密度 0.0261 0 0.1181 0.0498 0 0.1181 0.0536 0 0.0433 0.0515 0.0444 0.0433 0.0484 0.0222 0.0433 0.03 0.0444 0.0815 0.0994 0.0666 0.0815 0.0389 0.0222 0.0433 0.0681 0.066 0.0433 0.0784 0.0444 0.0433 0.0594 0.1111 0.0433 0.1280 0.0666 0.0433 0.0459 0.0444 0.0433 0.0540 0.0888 0.0815 0.0689 0.0666 0.0433 0.0264 0.3111 0.0433 0.0731 0 0.0433 构造以上因素的成对比较矩阵得：
?143/5??1/411/9S=???
??5/391??
利用matalab计算S的特征值和特征向量：
>> [x r]=eig(S) x =
-0.4744 -0.2372 - 0.4108i -0.2372 + 0.4108i -0.1073 -0.0536 + 0.0929i -0.0536 - 0.0929i -0.8738 0.8738 0.8738
7
r =
3.0100 0 0 0 -0.0050 + 0.1736i 0 0 0 -0.0050 - 0.1736i 所以各因素对车辆数的权向量为：
?2=[0.3259;0.0737;0.6003]
接下来对S进行一致性检验: 最大特征值为λ=3.0100 一致性指标：CI=0.005
一致性比率：CR=0.0086<0.1 显然，通过一致性检验 各网点车辆数分布比重为：
g=a*S=[0.0794 0.0871 0.0435 0.0460 0.0434 0.0620 0.0862 0.0403
0.0531 0.0548 0.0535 0.0726 0.0442 0.0731 0.0534 0.0575 0.0498]（其中a为表二所对应17?3矩阵）
将600辆车按该权重得各网点车辆数的数学期望为：
J=600*g=[47.6409 52.2751 26.0767 27.6295 26.0416 37.1842 51.7364
24.1840 31.8306 32.8895 32.1237 43.5700 26.5344 43.8406 32.0136 34.5149 29.8898]
由以上讨论知J可看作各个网点车辆数的数学期望，所以评价各网点车辆分布的
(Mi?Ji)2标准可记为r=?,r表示各个网点车辆数偏离数学期望的程度，r越
Ji?1i17小，偏离程度越小，网点车辆数布局越优化，故r表示评价该城区各个网点车辆布局的优化标准。Mi表示现第i个网点的现有车辆数。
由皮尔逊定理知， r是服从卡方分布的，?1??(k?1),取定α=0.05，将现有各个网点车辆数据代入r=40.5>?1?0.05(17?1) =26.2962，说明偏离程度太大，故现有各个网点车辆数分布不合理。
对比现有各网点车辆数分布及以上讨论，主要有1、2、3、12、15、16号网点车辆数分布明显不合理，分析其具体原因：
对1、2号网点，在我们的评价体系中，人口密度占60%，比重比较大，然而该网点车辆数明显高于其期望值，即过大提高了人口密度比重。 对3、12号网点，现有网点分布车辆数较多，是因为该网点距离超市和地铁较近，导致人口流量较大，但在我们的体系中，人口流量仅占32.59%，因而不合理。 对15、16号网点，其周围交通枢纽数较多，所分配车辆数应较多。
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