模拟试题（三）参考答案
一.填空题（每小题2分，共14分）
1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为
80，则该射手的命中率为 . 81解 设A表示一次射击中击中目标，依题意，四次都没击中的概率为
P(A)4?1?8012，解得P(A)?，从而射手的命中率为P(A)?. 81332.若事件A，B独立，且P(A)?p，P(B)?q则P(A?B)? . 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?1?p?pq.
3.设离散型随机变量X服从参数为?（??0）的泊松分布，已知P(X?1)?P(X?2)，则?= . 解 P(X?1)??e????22e???P(X?2)，从而解得??2.
4.设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为:
X 0 1
11?
22则随机变量Z?max{X,Y}的分布律为 .
解 Z的可能取值为0，1.
P(Z?0)?P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0)?111??. 224P(Z?1)?1?13?. 445.设随机变量X，Y的方差分别为DX?25，DY?36，相关系数?XY?0.4，则Cov(X,Y)= . 解 cov(X,Y)??XYDX?DY?12.
22kn26.设总体X的期望值?和方差?都存在，总体方差?的无偏估计量是?(Xi?X)，则k? .
ni?1解 k?n. n?1227.设总体X~N(?,?)，?未知，检验?0：?2??0，应选用的统计量是 .
?(X解
i?1ni?X)2~?2(n?1) (?0为真时)
2?0二 .单项选择题（每小题2分，共16分）
1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放，则4本外文书放在一起的概率为（ ） (A)
4!6! 10! (B)
7 10 (C)
4!7! 10! (D)
4 10解 本题应选C.
2.若事件A,B相互独立，则下列正确的是（ ） (A) P(B|A)?P(A|B)
(B) P(B|A)?P(A)
11
(C) P(A|B)?P(B)
(D) P(A|B)?1?P(A)
解 由独立性的定义知，P(A|B)?P(A)?1?P(A)，故本题应选D.
3.设随机变量X服从参数为n，p的二项分布，且EX?1.6，DX?1.28，则n，p的值为（ ） (A) n=8，p=0.2 (C) n=5，p=0.32
(B) n=4，p=0.4 (D) n=6，p=0.3
解 由np?1.6，np(1?p)?1.28，解得n=8，p=0.2，本题应选A.
4.设随机变量X服从正态分布N(2,1)，其概率密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则有（ ） (A) P(X?0)?P(X?0)?0.5 (B) P(X?2)?P(X?2)?0.5 (C) f(x)=f(?x)，x?(??,??) (D) F(?x)?1?F(x)， x?(??,??)
解 EX?2，故其密度函数关于x?2对称，故本题应选B.
5.如果随机变量X与Y满足:D(X?Y)?D(X?Y)，则下列式子正确的是（ ） (A) X与Y相互独立 (C) DY?0
(B) X与Y不相关 (D) DX?DY?0
n解 由D(X?Y)?D(X?Y)，可得cov(X,Y)?0，从而可知X与Y不相关，故本题应选B.
6.设X1,X2,?,Xn是来自总体X~N(?,?2)的样本，X为样本均值，令Y?(A) ?(n?1) (B) ?(n) 解 本题应选A.
22?(Xi?1i?X)22?，则Y~（ ）
(C) N(?,?) (D)N(?,2?2n)
7.设X1,X2,?,Xn是取自总体N(0,?)的样本，可以作为?的无偏估计量的统计量是（ ）
221n21n21n1n(A) ?Xi (B) Xi (D)Xi ?Xi (C) n??ni?1n?1i?1n?1i?1i?1解 由无偏估计的定义及期望的性质知，
1n21nE(?Xi)??EXi2?EX2?DX?(EX)2?DX??2，故A选择正确，同理验算其他选项，B，C，D均不正确.ni?1ni?1故本题应选A.
8.样本X1,X2,?,Xn来自正态总体?(?,?)，若进行假设检验，当（ ）时，一般采用统计量t?2(A) ?未知，检验?=?0
22X??0S/n
2(B) ?已知，检验?=?0
2(C) ?未知，检验 ?=?0 解 本题应选C. 三.（本题8分）
2(D) ?已知，检验?=?0
2有两台车床生产同一型号螺杆，甲车床的产量是乙车床的1.5倍，甲车床的废品率为2%，乙车床的废品率为1%，现随机抽取一根螺杆检查，发现是废品，问该废品是由甲车床生产的概率是多少？
解 设A1,A2分别表示螺杆由甲，乙车床生产的事件.B表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得
P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)
P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2) 12
3?0.025??0.75. 32?0.02??0.0155 四.（本题8分）
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障获利润5万元，发生两次故障获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，问一周内期望利润是多少？
解 设X表示一周中所获的利润，其分布律为:
X 0 5 10
P 1?5?0.2?0.84?0.85 5?0.2?0.84 0.85
从而由期望的定义计算可得EX?5.216.
五.（本题12分）
1.设随机向量X，Y的联合分布为:
X Y 1 2 3
1 0
11 6121112
666113 0
126(1) 求X，Y的边际分布；(2) 判断X，Y是否独立. 解 (1) X的边际分布为： Y的边际分布为：
X 1 2 3 Y 1 2 3 111111P P
424424(2) X与Y不相互独立.
2.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为:
?e?y，f(x,y)=??0，求概率P(X?Y?1).
解 P(X?Y?1)?六.（本题8分）
设连续型随机变量X的分布函数为:
0?x?y，其他，
?120dx?1?xxedy?1?e?1?2e?y?12.
x??A?Be?2，F(x)????0，2x?0，
x?0，求: (1) 系数A及B；
(2) 随机变量X的概率密度； (3) P(ln4?X?ln9). 解 (1) 由分布函数的性质知
x22F(??)?lim(A?Bex????)?A?1，
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x?0?limF(x)?lim(A?Be?x?0?x22)?A?B?0?F(0)，从而B??1;
(2) 分布函数的导数即为其概率密度，即
??x?2f(x)=?xe，??0，
(3) P(ln4?X?七.（本题8分）
2x?0， x?0ln9)?F(ln9)?F(ln4)?1. 6设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，X的概率密度为:
???xf(x)=???0，其中??0，求未知参数?的矩估计量与极大似然估计量.
解 令EX???1，0?x?1，其他，
?10?x?dx????1?X，从而解得?的矩估计量为
??(极大似然估计为:
?X2). 1?Xn???n??lnXii?1?lnXi?1n.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)
i八.（本题１０分）
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著水平0.05下，是否可认为全体考生的平均成绩为70分？
解 假设?0:??70，选取统计量
s/n在??0.05下，查t分布的双侧临界值表知t0.025?2.0301.
另一方面，计算统计量的值
T?X??~t(n?1)， (?0为真时)
|T|?66.5?7015/36?1.4?2.0301，
从而接受原假设，即可认为全体考生的平均成绩为70分.
九.（本题１２分）
两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为x=2600元和
y=2700元，样本标准差相应地为S1?81元和S2?105元，假设年存款余额服从正态分布，试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（??0.10）
解 此题要求检验?1??2，由于t检验必须在方差相等的条件下进行，因此必须先检验?1与?2是否相等.
22s12第一步假设?0:?=?，统计量F?2~F(n1?1,n2?1)，
s22122经检验，接受H0:?1=?2；
第二步假设?0:?1??2，
22 14
统计量T?X?Y(11(n?1)s?(n2?1)s?)1n1n2n1?n2?22122~t(n1?n2?2)
经检验，拒绝?0，即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)
十.（本题４分）
设总体X服从参数为?的泊松分布，?为未知参数，
??1，X为奇数， T(X)???1，X为偶数，证明:T(X)是e?2?的一个无偏估计量.
证明 E[T(X)]?T?T(x)P(X?x)
x?0???T(x)x?0??xx!e????(?1)n?0?n?nn!e???e?2?，
所以T(X)是e?2?的一个无偏估计量.
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