模拟试题（四）参考答案
一.填空题(每小题2分，共20分)
1.设P(A)=0.4，P(B)=0.5.若P(AB)?0.7,则P(A?B)? . 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)P(A|B)?0.55
2.若随机变量X服从二项分布，即X~B(5,0.1)，则D(1?2X)? .
解 D(1?2X)?4DX?4?5?0.1?0.9?1.8. 3.三次独立重复射击中，若至少有一次击中的概率为
37，则每次击中的概率为 . 64解
3. 4?3x2,0?x?1,4.设随机变量X的概率密度是:f(x)??且P(X?a)?0.784，则a? . 其他,?0,解 由P(X?a)?0.784知，0???1.故
从而??0.6. P(X?a)??3x2dx?1??3?0.784，?15.利用正态分布的结论，有:
???12?12???(x2?4x?4)et2e?t22?(x?2)22dx? .
解 令x?2?t，则原式??????dt?DX?(EX)2?1，这里X~N(0,1).
6.设总体X的密度函数为:
??x??1,0?x?1,f(x)??
0,其他,?(其中?为参数??0)，x1,x2,?,xn是来自总体X的样本观测值，则样本的似然函数
L(x1,x2,?,xn;?)? .
解 ?n?x?ii?1n?1.
7.设X，Y是二维随机向量，DX，DY都不为零，若有常数a?0与b使P(Y??aX?b)?1，这时X与Y是 关系.
解 完全相关.
28.若X~N(?,?2)，X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，X,S分别为样本均值和方差，则
(X??)n服从
S分布.
解 t(n?1).
29.设X~N(?1,?12)，Y~N(?2,?2)，X与Y相互独立.从X，Y中分别抽取容量为n1,n2的样本，样本均值分别
为X,Y，则X?Y服从分布 .
解 N(?1??2,?12n1?2?2n2).
10.设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为____________.
16
解 cov(Y,Z)?cov(Y,X?0.4)?cov(Y,X)?0.9. 二.单项选择题(每小题2分，共12分)
1. 设随机变量X的数学期望EX与DX??均存在，由切比雪夫不等式估计概率P{X?EX?4?}为( ) (A) ?21 16(B) ?1 16(C) ?15 16(D) ?15 16解 本题应选C.
2.A,B为随机随机事件，且B?A，则下列式子正确的是( ). (A) P(A?B)?P(A) 解 本题应选A.
(B) P(B?A)?P(B)?P(A)
(C) P(AB)?P(A) (D) P(BA)?P(B)
，?Ax?B，0?x?173. 设随机变量X的密度函数为f(x)??且EX?，则( ).
120，其他，?(A) A?1,B??0.5 (B) A??0.5,B?1 (C) A?0.5,B?1 (D) A?1,B?0.5
117解 令?(Ax?B)dx?1，?(Ax?B)xdx?，解得A?1,B?0.5，故本题应选D.
00124.若随机变量X与Y不相关，则有( ). (A) D(X?3Y)?D(X)?9D(Y) (B) D(XY)?D(X)?D(Y) (C) E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}?0 (D) P(Y?aX?b)?1
解 本题应选C.
5.已知随机变量F~F(n1,n2)，且P{F?F?(n1,n2)}??，则F1??(n1,n2)?( ).
1
F?(n1,n2)1(C)
F?(n2,n1)(A) 解
1
F1??(n2,n1)1(D)
F1??(n1,n2)(B)
6.将一枚硬币独立地掷两次，记事件:A1?{掷第一次出现正面}，A2?{掷第二次出现正面}，A3?{正、反面各出现一次}，A4?{正面出现两次}，则事件( ).
(A) A1,A2,A3相互独立 (C) A1,A2,A3两两独立 解 P(A1)?题应选C.
三.计算题(每小题８分，共48分)
1.某厂由甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3:2:1，
各车间产品的不合格率依次为8%，9%，12%.现从该厂产品中任意抽取一件，求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品，求它是由甲厂生产的概率.
解 (1) 运用全概率公式， 0.09;
(2) 运用贝叶斯公式， 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)
2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件，第i个零件是不合格品的概率为pi?
17
(B) A2,A3,A4相互独立 (D) A2,A3,A4两两独立
1111，P(A2)?，P(A3)?，P(A4)?，再由事件独立的充分必要条件可知A1,A2,A3两两独立，本222411?i(i?1,2,3)，以X表示三个零件中合格品的个数，求:(1) X的概率分布； (2) X的方差DX.
解 (1)
(2)
0 1 2 3
124 14 1124 14EX?111123?2??3??， 424412EX2?11117?4??9??，故DX?EX2?(EX)2?0.521. 42442223.设总体X~N(0,?2)，?为未知参数，x1,x2,?,xn是来自总体X的一组样本值，求?的最大似然估计.
解 似然函数L(?)?(两边取对数
212???)en?i?1nxi222??(12??)e2n2?xi2?i?1n2?2，
nnlnL(?2)??ln2??ln?2?i?12，
422?关于?求导，并令其为零，得
2?xin2n1??2?i?122?0， 2?2(?)1n22???xi. 从而解得极大似然估计量为?ni?14.二维随机变量(X，Y)的联合概率密度:
?xin2?2e?(x?2y)，x?0,y?0， f(x,y)??其它，?0，求: (1) X与Y之间是否相互独立，判断X与Y是否线性相关；
(2) P(Y?X?1).
?????2e?(x?2y)dy,x?0,解 (1) fX(x)??f(x,y)dy??0
???0,x?0??e?x,x?0,?? ?0,x?0.??同理
?e?2y,fY(y)???0,从而
y?0, y?0.f(x,y)?fX(x)fY(y)，
故X与Y相互独立，因而X与Y一定不相关.
(2) P(Y?X?1)??10dx?1?x02e?(x?2y)dy?(1?e?1)2.
18
5.某人乘车或步行上班，他等车的时间X(单位:分钟)服从参数为
1的指数分布，如果等车时间超过10分钟他就步行上5班.若此人一周上班5次，以Y表示他一周步行上班的次数.求Y的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.
解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为
P(X?10)??故Y~B(5,e?2).
??101?sedx?e?2. 5xP(Y?1)?1?(1?e?2)5. 6.设随机变量X的概率密度为
?1，x?[1,8]，? f(x)??3?3x2?其他，?0，F(x)是X的分布函数.求随机变量Y?F(X)的概率分布.
x?1,?0,1??解 F(x)??x3?1,1?x?8,
?1,x?8.??
(3) 当y?0时，FY(y)?P(Y?y)?0;
13当0?y?1时，
FY(y)?P(Y?y)?P(X?1?y)?P(X?(y?1)3)
?FX((y?1)3)?y;
当y?1时，FY(y)?P(Y?y)?1. 故对FY(y)求导可得Y的概率密度，
?1，0?y?1， fY(y)???0，其它，1] 即Y~U[0，四.应用题(第1题7分、第2题8分，共15分)
1.假设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率等于0.2，用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.
,?0,第i发炮弹没有命中解 设Xi?? (i?1,2,?,400)，则
1,第i发炮弹命中?X??Xi~B(400,0.2)
i?1400表示400发炮弹命中的发数，且EX?80，DX?64，故由中心极限定理知，
P(60?X?100)?P(|X?80|?20)?P(|?2?(nX?8064|?2064)
20)?1?0.9876. 82.某厂生产铜丝，生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算:
x?287.5,?(xi?x)2?160.5.假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为
i?1 19
16?(??0.1)
解 H0：?2?16，H1：?2?16. 采用统计量
?2?由??0.1，查得临界值
n?1?2S2，在H0成立时，?2~?2(9).
222?12??/2??0.95(9)?3.325， ??/2??0.05(9)?16.919，
由样本值算得??2160.52?10.03，由于?12??/2??2???/2，所以不拒绝H0，即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 16五.证明题(5分)
若随机变量X的密度函数f(x)，对任意的x?R，满足:f(x)?f(?x)，F(x)是其分布函数.证明:对任意实数a，有
F(?a)?
证明 F(?a)?a1??f(x)dx. 20??a??f(x)dx??0??f(x)dx???a0f(x)dx
??a1??f(x)dx (令t??x) 20aaa111???f(?t)dt???f(t)dt???f(x)dx. 202020 20