ri(k?1)x?x?ai； (a) 证明
(k)?x(k)?x?，其中x?是方程组的精确解，求证： (b) 如果?(k?1)i(k)i?ri(k?1)(k?1)i??(k)iri(k?1)?aii
其中 (c) 设A是对称的，二次型
??aij?j?1i?1(k?1)j??aij?i(k)j?in。
Q(?(k))?(A?(k),?(k)) Q(?(k?1))?Q(?(k)j?1jj证明 。
(d) 由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向
)???n(rj(k?1))2a量x是收敛的，则A是正定阵。
13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组
(0)Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,
其中z1,z2,d1,d2?R。
(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵
(m)(m?1)Az1(m?1)?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m)(m?0);
n(m)(m?1)Az1(m?1)?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?1)(m?0);
?1aa??A??a1a????aa1??
111??a?1??a?2是收敛的。 对于2是正定的，而雅可比迭代只对2?5123??0204??A???3?12?1???0307??，试说明A为可约矩阵。 15. 设
16. 给定迭代过程，x?Cx(k)?g，其中C?Rn?n(k?0,1,2,?)，试证明：如果C的
特征值?i(C)?0(i?1,2,?)，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。
(k?1)17. 画出SOR迭代法的框图。
18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1，求证：解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b，其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵；
(b) 求证cond(AA)2?(cond(A)2)。
T2T
第九章 矩阵的特征值与特征向量计算
1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：
3?2??7?3?43????463?A1??34?1A?2??????31??3?, ??2?13?? , (b) (a)
当特征值有3位小数稳定时迭代终止。
2. 方阵T分块形式为
?T11T12?T1n???T?T222n?T???????Tnn?, ?其中Tii(i?1,2,?,n)为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T 为准三角形形式，用?(T)记矩阵T的特征值集合，证明
n?(T)???(Tii).i?13. 利用反幂法求矩阵
的最接近于6的特征值及对应的特征向量。
4. 求矩阵
?621??231?????111??
与特征值4对应的特征向量。
5. 用雅可比方法计算
?400??031?????013?? ?1.01.00.5??A??1.01.00.25????0.50.252.0??
的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p的最优值。
6. (a)设A是对称矩阵，λ和x(||x||2?1)是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为
一个正交阵，使
Px?e1?(1,0,?,0)T
证明B?PAP的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。 (b)对于矩阵
T?2102??A??105?8????2?811??,
?212?x??,,??333?是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使λ=9是其特征值，
Px?e1，并计算B?PAPT。
7. 利用初等反射阵将
T正交相似约化为对称三对角阵。 8. 设A?Rn?n?134??A??312????421??
(2)a?0的平面旋转阵，试推导计算PijA第ia,aPi1j1ij，且不全为零，为使j1TAPij行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的计算公式。
9. 设An?1是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y是An?1的一个特征向量。
1P2?Pn?2y； (a)证明矩阵A对应的特征向量是x?P(b)对于给出的y应如何计算x？ 10. 用带位移的QR方法计算
?120??310???121?A??2?11B????????013??, (b) ?011?? (a)
全部特征值。
11. 试用初等反射阵A分解为QR，其中Q为正交阵，R为上三角阵，
1??11?A??2?1?1????2?45??。
数值分析习题简答
（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
长沙理工大学
第一章 绪论习题参
考答案
?(x*)1． ε（lnx）≈
xn*??r(x*)??。
?r(x)?2．
*n?(x)x*n?nx*n?1?(x*)x*n*n?(x*)??0.02n*x*。
*3． x1有5位有效数字，x2有2位有效数字，x3有4位有效数字，x4有5位有效
*x5数字，有2位有效数字。
******?4?3?3?3?(x?x?x)??(x)??(x)??(x)?0.5?10?0.5?10?0.5?10?1.05?101241244．
************?(x1x2x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)?x1x2?(x3)?0.214790825**x2x21**?(*)?*?(x2)?*2?(x4)?8.855668?10?6x4x4x4。
?r(R)??r(35． 6．
3V)?4?31?(V)/36?V233V1?(V)1???r(V)?0.0033334?3V3。
?(Y100)?100?111??10?3??10?310022。
7． x1?28?783?55.982，
??x2?28?783?128?783?1?0.0178655.982。
1?dx??arctgN?N1?x228．
11??(x)??(S)?S2?(S)?0.00529． 。
gt?(t)2?(t)0.2?r(S)???12ttgt210． ?(S)?gt?(t)?0.1gt，，故t增加时S的
绝对误差增加，相对误差减小。
1?(y10)?1010?(y0)??108211． ，计算过程不稳定。
12．
6f?(2?1)6?0.005051，如果令2?1.4，则f1?(2?1)?0.004096，
f2?11?0.005233f??0.0051254363f?(3?22)?0.008(2?1)(3?22)，3，，
f5?99?702?1，f4的结果最好。
13．
f(30)??4.094622，开平方时用六位函数表计算所得的误差为
???10?4中
12，分别代入等价公式f1(x)?ln(x?x2?1),f2(x)??ln(x?x2?1)计算
)?可得
4?(f1)?ln(1??x?x2?11?(x?x2?1)??60??10??3?10?2x?x2?1，
??(f2)?ln(1??x?x2?1)??x?x2?1?11??10?4?8.33?10?7602。
1000000000999999998?1.000000,x2??1.00000099999999999999999914． 方程组的真解为，
而无论用方程一还是方程二代入消元均解得x1?1.00,x2?1.00，结果十分可
x1?靠。
?tanc?c?15．
第二章 插值法习题参考答案
Vn(x)??(x?xi)i?0n?10?j?i?n?1?sbsinc?a?asinc?b?abcosc?c?a?b?c????sabsincabc
1.
?(xi?xj)i；
. (x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)L2(x)?0??(?3)??4?(1?1)(1?2)(?1?1)(?1?2)(2?1)(2?1) 2.
537?x2?x?23. 63. 线性插值：取x0?0.5,x1?0.6,y0??0.693147,y1??0.510826，则
0?j?i?n?1Vn?1(x0,x1,?,xn?1)??(x?xj)ln0.54?L1(0.54)?y0?y1?y0?(0.54?x0)??0.620219x1?x0；
二次插值：取
x0?0.4,x1?0.5,x2?0.6,y0??0.916291,y1??0.693147,y2??0.510826，则 ln0.54?L2(0.54)
(0.54?x0)(0.54?x2)(0.54?x0)(0.54?x1)(0.54?x1)(0.54?x2)?y0??y1??y2?(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)
＝－0.616707 .
1R1(x)?f(x)?L1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x1)24. ，其中??[x0,x1]. 1|R1(x)|?max|cos??(x)|?max|(x?x0)(x?x1)|x0?x?x12x0?x?x1所以总误差界
(x1?x0)21?11???8??1???????1.06?10248?60180? .
2