于点F.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.
图K28-14 参考答案
1.A
2.A [解析] 连接OC.∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE,
∵∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=60°, ∴∠E=90°-∠BOC=30°,
∴sinE=sin30°=.故选A.
3.D [解析] 由切线的性质得OA⊥AB,∵OA=5,AB=12,∴由勾股定理得BO=13,由圆的性质知OC=OA, ∴BC=BO-OC=13-5=8. 4.A [解析] 过点O作OD⊥AC于点D,由已知条件和圆的性质易求OD的长,再根据勾股定理即可求出AD的长,进而可求出AC的长.
过点O作OD⊥AC于点D,∵AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,
6
∴AB⊥AP,∴∠BAP=90°,
∵∠P=30°,∴∠AOP=60°,∴∠AOC=120°,∵OA=OC,∴∠OAD=30°,∵AB=10,∴OA=5,∴OD=AO=2.5,
∴AD==,∴AC=2AD=5,故选A.
5.C [解析] 如图,设半圆O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC,垂足为P1,交半圆O于Q1,
此时垂线段OP1最短,即此时PQ取得最小值,为P1Q1=OP1-OQ1,∵AB=10,AC=8,BC=6, ∴AB2
=AC2
+BC2
,
∴∠C=90°,∵∠OP1B=90°,∠OEC=90°, ∴OP1∥AC,OE∥BC. ∵AO=OB,∴P1C=P1B,AE=EC,
∴OP1=AC=4,OE=BC=3, ∴P1Q1=OP1-OQ1=4-3=1. 当Q2在AB边上,P2与B重合时,
PQ取得最大值,为P2Q2=5+3=8,
∴PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C.
7
6.24 [解析] 如图,设AB与☉O相切于点F,连接OF,OD,延长FO交CD于点E. 设☉O的半径为R, ∵2πR=26π,∴R=13, ∴OF=OD=13,
∵AB是☉O的切线,∴OF⊥AB, ∵AB∥CD,∴EF⊥CD,即OE⊥CD, ∴CE=ED,∵EF=18,OF=13,∴OE=5, 在Rt△OED中,∵∠OED=90°,OD=13,OE=5,
∴ED===12,
∴CD=2ED=24.
7.52 8.(1)1 (2)1 10.2 [解析] 如图, 连接OC. ∵DC切☉O于点C, ∴∠OCD=90°. ∵BD=OB,∴OB=OD. ∵OC=OB,∴OC=OD, ∴∠D=30°,∴∠COD=60°. ∵AB为☉O的直径,B是 的中点, 8 ∴CF⊥OB,CE=EF,∴CE=OC·sin60°=2×=, ∴CF=2. 11.2 [解析] 如图,作☉O的直径AC,连接PC,所以∠APC=∠ABP=90°.因为直线l与☉O相切于点A,所以∠CAB=90°, 所以AC∥BP,所以∠CAP=∠BPA,所以△ABP∽△CPA,可得AP=AC·BP,则有y=BP=,所以x-y=x-=-(x-4)+2,则当x=4时,x-y有最大值,最大值是2. 22 12.解:(1)证明:∵AB与☉O相切,∴OB⊥AB,∠ABP+∠OBC=90°,∵CO⊥AO,∴∠C+∠CPO=90°, ∵OB=OC,∴∠C=∠OBC, ∴∠ABP=∠CPO=∠APB,∴AP=AB. (2)如图,过点A作AD⊥BP于D点, ∴∠ADP=90°.由(1)得:AP=AB, ∴PD=BP, ∵∠ABO=90°,OB=4,AB=3, ∴OA=5,OP=OA-AP=2,∴CP=2, ∵∠ADP=∠COP,∠APD=∠CPO, ∴△ADP∽△COP, 9 ∴=,即PD=,∴PB=. 13.证明:(1)连接AC. ∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD,∴∠DCO=∠D=90°. ∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO. 又∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO. 又∵CE⊥AB,∴∠CEA=90°. 在△CDA和△CEA中, ∵∠D=∠CEA,∠DAC=∠EAC,AC=AC, ∴△CDA≌△CEA(AAS),∴CD=CE. (2)连接BC.∵△CDA≌△CEA,∴∠DCA=∠ECA.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG.∴∠ECA=∠ECG. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°. 又∵CE⊥AB,∴∠ACE=∠B. 又∵∠B=∠F,∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG. 又∵∠D=90°,∴∠DCF+∠F=90°, ∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°. 10