数学史融入小学数学教育的资源开发与应用
------“数与代数”领域部分概念的历史探源
方增强
【内容摘要】数学史融入数学教育的研究是近年来人们关注的一个热点，从国际 HPM 的兴起到
我国两次全国数学史与数学教育会议的召开，都说明数学史与数学教育整合的研究越来越受到重视。针对当前缺少适合小学数学教学的史料，教师对所教内容的渊源一知半解，以及学生对所学内容的来源不了解等现状，本文试图深入挖掘一部分小学数学知识的生成与发展过程，以此来探索数学史融入小学数学教育的资源开发和应用：1. 以《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》为基础，依据不同版本的小学数学教科书，梳理出“数与代数”部分的主要概念和符号。2.探寻了“数与代数”领域中部分概念的历史渊源。结合它们的历史发展脉络与相关知识的教学实际，提供相关的教学建议，包括自然数、分数、小数、负数。3. 对数学史与数学教育整合的实践运用提出了具体操作模式。
【关键词】数学史 数学教育 资源开发与应用 历史
一、 问题的提出
现代数学教育观认为，数学自始至终是一种“生长着的理论”。在这些理论中，逻辑思维不是决定性的；直觉等非逻辑思维因缺乏经验而不能得出科学的理论。但是，没有一门理论不是经过这样的生长期；而且，这个时期从历史的观点来看是最动人的，从教学的观点来看也应该是最重要的。
现代数学教育观主张学生亲身经历数学知识的生成过程，在“做中学”。亲历知识生长的过程，前提要了解知识是怎样生成的，可以说就是数学知识的历史。教师在设计教学时应关注数学知识的发生发展以及历史本源。所以如何把数学史运用到数学教学中，应成为教育工作者深入探讨的一个领域。
2001年国家教育部制订并颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，在其基本理念中，强调指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”这为新一轮我国数学教育和教学的改革指明了方向，即在现代文明的传播和数学教学中，要渗透与数学的内容、思想、方法和语言相关的知识，即数学史的知识。而且“标准”分别在第一、二、三学段的“教材编写建议”部分明确指出“介绍有关的数学背景知识”。从《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本理念和现行众多“课标版”教材可以看出，数学史和相关数学知识的历史已得到广泛的重视。另外，从国际HPM（全称是International Study Group on the Relation Between History and Pedagogy of Mathematics，数学史与数学教学关系国际研究小组）的兴起到我国两次全国数学史与数学教育会议的召开，都说明数学史与数学教育整合的研究越来越受到重视，数学史融入数学教育的研究已成为近年来人们关注的一个热点。
1
针对当前缺少适合小学数学教学的史料，教师对所教内容的渊源一知半解，以及学生对所学内容的来源不了解等现状。教材编排了相关的内容如“你知道吗？”等，但是很多教师视而不见，或者让学生自学了事，一带而过，很少深入地挖掘，在教材的开发和创造性的使用中出现了问题。
二、概念界定
“数学史”：数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
“资源开发”：教师为准备教学内容，首先应有丰富的参考资料，当前已有很多数学史方面的一次文献和二次文献，而亟需适合教师课堂使用的三次文献，即把教材内容和数学知识历史整合成教学材料。
“部分概念”：由于本人研究的广域度所限，本次研究范围仅限“数与代数”部分概念，如自然数源于“比较”、分数源于“分”的需要，负数源于“盈亏”和“解方程”等。
二、 数学史融入数学教育的资源开发
这里将重点研究小学数学知识中一些重要内容的历史演变过程，在追本溯源的过程中，结合教师在数学教育和教学中遇到的问题，做一些探讨。
小学阶段，学生从最简单的自然数开始逐渐接触分数、小数等数系方面的知识。除了同一数学分支的学习在不断地纵向延伸拓展外，学生还开始慢慢接触多个数学分支，比如几何的初步认识，概率统计方面的初步认识，这些由“标准”的四大知识领域的划分就可以得到印证。但是长期以来小学阶段的数学知识主要是集中在其中的两部分，即：数与代数、空间与图形。这里将以小学“数与代数”知识领域的一些重要知识点为基础，研究其中比较基础的数学概念，编写一些适合一线教师在课堂可以直接使用的历史材料。
（一）自然数源于“比较”
毫无疑问，自然数是世界上公认的产生最早的一类数。英译为nature number，可见中文和英文的意思是一种直接的对应，“有自然而然产生出来的意思”。通常认为原始人类在运用匹配的方式计数以及考察动作的顺序时产生了自然数的概念，在自然数的概念产生的同时也产生了自然数的算术四则运算法则，随着运算的发展即自然数在生活中的应用，自然数的概念逐渐完善。
最初，原始人过着居无定所的“流浪”生活，靠狩猎为生。在长期狩猎与分配的过程中，他们逐渐形成了“有”和“无”、“多”和“少”的概念。在“有”中渐渐知
2
道“1”和“多”的区别。例如，收获猎物与空手而归，就产生了“有”和“无”的概念；在分配猎物时，每人一个一个的分，以满足每个人得到的数量能相等，在每人分一个不够时和每人分完一个还有剩余时，就产生了“少”和“多”的概念。有研究表明：有些动物也有能辨别数目多少的才能。这种按人数一个一个的分配猎物，事实上就是匹配的方法，这里蕴含的是“对应”的思想，在历史上被称为“数学的第一次抽象”。或许这就是函数“对应法则”的最初原型吧。初入学的小学生和原始人认识自然数的思维过程是相似的。心理学研究表明，低年级学生的数概念已基本形成，能够理解数与实物的对应关系。所以，在低年级引入自然数的概念时，应该考虑到孩子的心理特点：先叫他们感受“有”和“无”的区别，然后再辨别数量的“多”和“少”。而在一年级教材中，也正是先让学生认识具体物体的个数，然后才抽象出数的概念的。教师在此阶段的教学中，不可急于求成，让学生慢慢地在“掰着手指头”“一一匹配”的基础上，感知事物数量的多少关系。
在生产实践中，人们匹配的对象不断扩展，例如手指、小石头、贝壳等等。尽管匹配的对象多种多样，但是人们发现它们在数量上有某种共性，例如一根手指、一块石头、一个贝壳等，都包含有一个共同的特征“一”，这样就抽象出了数字“1”的概念。英国哲学家兼数学家伯特兰 罗素（Bertrand Russell, 1872~1970）说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字 2）时，数学就诞生了”。当然，也就随之逐渐地抽象出用来表示数字的“2”、“3”等等，但是随着感知数量的增加，先民却很难突破大于 3 的数，大于 3 的数他们都理解为一堆或一群。对于儿童而言也是如此，所以一年级的小学生先学习 0-9 的认识和运算，在学生学习基本的点数动作语言之后，接着学习 10-20 的认识和运算。慢慢的这些匹配的对象演化为人们的记数工具。由于这种记数工具不易携带和保存，人们想到用结绳的方法来记数，并逐渐发展为在石头、木、竹片或骨上来“刻痕记数”。但是人类把数的共同特征抽象出来，并采用与大多数具体事物无关的某个语音来代替它，或许经历了很长时间。既然如此，在运算教学中，应让学生借助大量直观的“匹配”活动，比如数手指等，慢慢形成抽象的自然数。而不能急于求成，直接将运算知识交给孩子，这对学生思维的发展是毫无益处的。
考古学家提供的证据证明：人类在 5 万年前就采用一些计数方法。最早采用的进位制有二进制、五进制、十进制、十二进制、六十进制等等。人类最早可能用手指计数，一只手五个指头，一双手十个指头，若加上一双脚趾则为二十个，推测这大概是五进制、十进制、二十进制的来由。玛雅数字系采用二十进制；巴比伦楔形数字系采用六十进制；埃及、中国、希腊和印度则采用十进制。现在能得到公认的是：十进位值制起源于中国！位值制有两层含义，一个是“位”、一个是“值”，指的是：一个数字在不同的“位置”代表不同的“数值”。例如，43 和 34 中的数字都相同，但是由
3
于相同数字所处的位置不同所以却是不同的两个数。因为 43 里面的“4”表示“4 个十”，“3”表示“3 个一”；而 34 里面的“3”表示“3 个十”，“4”表示“4 个一”。可见，用阿拉伯数字表示的十进位值制计数法，我们并不能看到计数单位，它的特征是“省略了计数单位”。所以在初学自然数的认识和计算教学中，不要抛开计数单位，要让学生看到直观形象的“个、十、百、千??”在哪里，将抽象的数与具体的形结合起来。比如小学里常用的一种计数器，通过学生的亲自动手操作，把教与学的活动有机地结合起来，不但提高了学生的动手能力和学习兴趣，而且也加深了学生对数的意义的理解。有了十进位值制，在固定的位置上变换数字，就可以用有限的数字表示无限的数，这里正好体现了“静止”与“运动”和“有限”与“无限”的辩证统一的关系。所以十进位值制不愧是“人类最奇妙的发明之一”。（马克思语）历经时间的洗礼，十进位值制作为最优秀的记数方法流传下来。也许正是由于人类只有十根手指，也因此十以内的加减法的教学才更加顺利。因为学生可以用手指进行匹配，顺利算出结果。但是由于手指的个数毕竟有限，那么十进位值制的功能就变得异常重要了。
与上述观点不同，我国学者朱炳祥从民族学研究的角度出发，（朱炳祥，1996）认为原始人在生产实践中逐步发展了一分为二的二元对立观念，这种观念对数的起源十分重要，其中孕育了“1”和“2”这两个数字的种子。只有对立的观念产生，数才能起源，单个事物不能形成数的观念，在对立统一规律中，一方相对于另一方而存在，因此“1”和“2”同时产生，它们共存亡。这正好符合“矛盾是事物发展的动力”的哲学观点。而不是先有 1 后来增加 1 才产生 2 的。随着一组对立的形成，一分为二的二元对立原则继续扩大，每扩大一次，他的乘数都是 2，就扩大原来的二倍，按照 2 的n次方形式递增。于是产生了后来的“4”、“8”等等。所以说，二元对立思想为“1”和“2”概念的产生奠定了思维基础，在此基础上才可能生发和扩大开去滋生更多的数。然而，因为“1”和“2”是原始人二元对立思维的产物，它们同时产生，在时间和空间上没有前后、左右、上下之分，那么无论其抽象程度多高，在原始人的观念中也没有顺序的概念。所以在一些文化传统中，“1”和“2”不被视为“数”，“3”被视为“数”之首，也是有一定道理的。“3”的起源最初是由于“无意识的偶然的并列”，后来逐渐变成有意识的排列。有了“3”以后，按照相同的思维方式，只需将无意识、不自觉的排列转化为自觉的、有意识的排列，后面更大的数就自然而然的产生了。可见原始人生成数概念大致经历了三个发展阶段：具体 抽象 序列。
上述将长期以来人们认可的一般的观点和当代研究的新结论放在一起，并非想通过比较来说明孰优孰劣，而是想通过此明晰自然数起源问题当前研究的现状。这两种说法的差异在于自然数起源的基础是什么。一说是在人类劳动过程中逐渐抽象出数量，从而产生自然数，这也是长期以来大多数人所认同的，也是符合人的认知发展规律的；另一说是人类先有了二元对立观念之后才有了“1”和“2”并慢慢产生更多的数。这
4
两种观点恰恰是自然数“源”的精髓，教师的思想观点应与时俱进，了解当前研究的最新现状。
了解自然数的发生与发展过程，使教师在教学中能理解学生为什么“学的总是那么慢”、就会理解学生为什么总是“掰着手指头数数”、从而就会允许学生在“最简单的问题上犯错误”了。教师接纳不同的观点，对自然数的起源有全面的认识，从而能客观地对待学生的数学学习困难。
自然数的发展史告诉我们：事物的发展变化不是一帆风顺的，理论体系的建立和完善也是需要时间和实践的考验的，谁也说不准以后是否会有新的观点提出来。我们要辩证地对待不同的观点和新观点，现在的结论能否经得起时间的洗礼和历史的考验，要在实践中接受检验。
（二）分数源于“分”的需要
随着人类社会发展的不断进步、人类实践活动范围的不断推广，在生产分配过程中常出现不能均分的情况、在测量或计算时不能得到整数的结果，分数自然而然就产生了。在小学，分数概念的引入，也是出现在不能平均分的情境下。分数的概念从对汉字的考证来看，原始分数的概念来源于连续量的分割。殷商甲骨文“八”字，据考释是“分”的意思；《说文 八部》中的解释是“八，别也。象分别相背之形。”周代金文中已常用“分”字：“分，别也。从八而刀，刀以分别物也”。《新华字典》中的解释可取为“分开，划分开，跟‘合’相反，引申为取整数的一部分”。在英语中分数是“fraction”一词，也有“小部分，片断”的意思，它能追溯到拉丁词“frangere”，是“打碎”的意思。它是源自过去分词“fractus”的词干派生的后期拉丁语“fractio”，意为“破裂”或“碎成一片片的”。
尽管各个国家的语言文化背景和社会政治经济发展不同，但是对“分数”概念的理解却有异曲同工之处，基本都理解为“被分割的数，被打碎的数，破碎的数”。所以，分数在原始人的思维起源应是一种事物不能够均分为几份了，那么一个整体就要被“打破了”来分。
分数的概念最早可以追溯到巴比伦人，他们采用六十进位制，但只不过限于简单
112的、、等。在量的意义上，他们把它当作“整体”来看待，而不是一的几分之233几，因为分数是从量的度量（同另一量相比有这种对应关系）所得出的结果。例如，当把一元钱与一角钱对比时，就可以把一角钱写成
11，但是却把本身看成一个单10101相对于一元钱就是一个分10位而不是一个分数，这是二者之间的一种“比较”，而不是“二者之比”。而我们今天通常把一元钱看成整体，把一角钱看成它的一部分，那么
数了。埃及人表示分数的方式比我们今天要复杂的多。他们通常在整数上加一个卵形
5