∴an＝3·2n1，n∈N＋................（5分）
－
a1?1－qn?3?1－2n?(2)由(1)知Sn＝＝＝3(2n－1)，
1－q1－2∴不等式化为3(2n－1)>k·3·2n1－2，
－
即k<2－
1
－对一切n∈N＋恒成立． 3·2n11
－，易知f(n)随n的增大而增大， 3·2n1令f(n)＝2－
155
∴f(n)min＝f(1)＝2－＝，∴k<. 333
5
∴实数k的取值范围为(－∞，)．…………..（12分）
319. （本题12分）
解析：(1) f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数,
当x=1时有极小值0……………….（6分）
（2）由f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0
取0
abab
20. （本题12分）
证明：(1)由SA2＋AD2＝22＋22＝8＝SD2，SA2＋AB2＝22＋12＝5＝SB2，得SA⊥AB， 又AB⊥AD，AD∩SA＝A，所以AB⊥平面SAD. 又CD⊥平面SAD，所以AB∥CD.
(2)取SD的中点E，连接AE，NE，如图所示．
1
易知NE＝CD＝AM，NE∥CD∥AM，所以四边形AMNE为平行四边形．
2所以MN∥AE.
又因为CD⊥平面SAD.AE∈平面SAD 所以CD⊥AE.
由(1)知△SAD为等腰直角三角形． 所以AE⊥SD.
又SD∩CD＝D，所以AE⊥平面SCD. 因为MN∥AE，所以MN⊥平面SCD.
又MN∈平面SMC，所以平面SMC⊥平面SCD.
21．（本题12分）
解析：(1)由题意知，b＝c3因为离心率e＝＝，
a2b所以＝a
c11－??2＝.
a2
2
＝2. 2
所以a＝22.
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1…………….5分
82
(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝y0－1
x＋1，① x0
直线QN的方程为y＝
y0－2
x＋2.② －x0
3y0－4x0法一：联立①②解得x＝，y＝，
2y0－32y0－33y0－4x0x2y2002
即T(，)．由＋＝1，可得x0＝8－4y20. 822y0－32y0－3
22
1x0213y0－42x0＋4?3y0－4?因为()＋()＝ 82y0－322y0－38?2y0－3?228－4y20＋4?3y0－4?＝
8?2y0－3?232y28?2y0－3?20－96y0＋72＝＝＝1，
8?2y0－3?28?2y0－3?2所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………..12分 法二：设T(x，y)，联立①②解得x0＝
3y－4x
，y0＝. 2y－32y－3
x2y21x213y－4200因为＋＝1，所以()＋()＝1.
8282y－322y－3x2?3y－4?整理得＋＝(2y－3)2，
82
x29y2x2y22
所以＋－12y＋8＝4y－12y＋9，即＋＝1.
8282所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 22. （本题12分）
?3a＋2b－3＝0，?解析：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即?解得a
?3a－2b－3＝0，?
2
＝1，b＝0.
∴f(x)＝x3－3x……………..4分
(2)由(1)知f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， ∵曲线方程为y＝x3－3x，
∴点A(1，m)(m≠－2)不在曲线上．
设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0. ∵f′(x0)＝3(x20－1)， ∴切线的斜率为
x30－3x0－m2
3(x0－1)＝，…………8
x0－1
分
2
整理得2x30－3x0＋m＋3＝0.
∵过点A(1，m)可作曲线的三条切线，
2∴关于x0的方程2x30－3x0＋m＋3＝0有三个实根． 22设g(x0)＝2x30－3x0＋m＋3，则g′(x0)＝6x0－6x0，
由g′(x0)＝0，得x0＝0或1.
∴g(x0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．
2∴函数g(x0)＝2x30－3x0＋m＋3的极值点为x0＝0和1.
∴关于x0的方程
2
2x30－3x0＋m＋3＝0
??g?0?>0，
有三个实根的充要条件是?解得－3 ?g?1?<0，? 故所求实数m的取值范围是(－3，－2)．…………..12分