解三角形应用举例
一、选择题
1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3. ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.
∴BC＝19. 答案：D
2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是( )．
A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b
解析 选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A. 答案 A
3．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是3 km，那么x的值为( )． A.3 B．23 C.3或23 D．3
解析 如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或23.
答案 C
4．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为( )
A．502 m B．503 m 252
C．252 m D. m
2解析 由题意，得B＝30°.由正弦定理，得
ABAC
＝，
sin∠ACBsinB
250×2AC·sin∠ACB
∴AB＝＝＝502(m)．
sinB1
2
答案 A
5．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( ) A．a km B.2a km C．2a km D.3a km 解析 依题意得∠ACB＝120°，由余弦定理，得 AC2＋BC2－AB2cos120°＝. 2AC·BC
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°
?－1?＝3a2， ＝a2＋a2－2a2×?2?
∴AB＝3a，故选D.
答案 D
6．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )．
206106A.米 B．106米 C.米 D．202米
33
解析 如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOBAO20＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，
sin 45°sin 60°206
∴AO＝(米)．
3
答案 A
7．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )．
A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.6 150 000
解析 AB＝1 000×1 000×＝ (m)，
603∴BC＝
AB50 000
·sin 30°＝ (m)． sin 45°32
50 000
∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 (km)．
32
∴山高为18－11.4＝6.6 (km)． 答案 B 二、填空题
8．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km. 解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60， ∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中， 60BM由正弦定理得＝，
sin 45°sin 30°
解得BM＝302． 答案：302
9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
BC
解析 在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，sin 45°＝
CDCDsin 45°AB
，BC＝＝102.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝106(米)． sin 30°sin 30°BC
答案 106
10． 2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为106米，则旗杆的高度为________米．
解析 由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°， AN106由正弦定理得＝，解得AN＝203(米)，
sin 45°sin 30°
在Rt△AMN中，MN＝203 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米． 答案 30
11．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.
解析 由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴10
. sin 60°106∴x＝ m.
3答案
106 m 3
x
＝sin 45°
12．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．
BMmmcos α
解析 由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，sin?90°－α?sin?α－β?sin?α－β?mcos αcos β
要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝＞n，所以当α与β的关系满足
sin?α－β?mcos αcos β＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险． 答案 mcos αcos β＞nsin(α－β) 三、解答题
13．隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解析 如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝3(千米)， 在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理得，BC＝
3sin 75°6＋2
＝(千米)．
sin 60°2
在△ABC中，由余弦定理，可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA， 即AB2＝(3)2＋?
?6＋2?2－23·6＋2cos 75°＝5. ?2?2?
∴AB＝5 (千米)．
所以两目标A、B间的距离为5千米． 14．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙
以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．
(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．
解析 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α， 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28(海里)．
BC
所以渔船甲的速度为＝14海里/时．
2
(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦ABBC定理，得＝. sin αsin 120°
312×233ABsin 120°
即sin α＝＝＝. BC2814
15．如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为152 n mile/h，1
tanθ＝?在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ?2??的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.
(1)若两船能相遇，求m.
(2)当m＝105时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?
解析 (1)设t小时后，两船在M处相遇， 1525
由tanθ＝，得sinθ＝，cosθ＝，
255所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝
10
. 10
AMAB
由正弦定理，＝，∴AM＝402，
sinθsin∠AMB同理得BM＝405.