21.（本题满分16分）如图，给定凸四边形ABCD，?B??D?180，P是平面上的动点，令f(P)?PA?BC?PD?CA?PC?AB．
（1）求证：当f(P)达到最小值时，P、A、B、C四点共圆； （2）设E是?ABC外接圆O的AB上一点，满足：
BCAE3，?3?1，?ECAB2?ECB?
1又DAD,C?ECA，
2是O的切线，AC?2，求f(P)的最小值．
2013温州中学自主招生数学模拟题答案
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
题号 1 答案 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 C 10 B
二.填空题:本大题共6小题，每小题5分，满分30分。
11. √6+√3-√2-2 12.-15.5 13.6
14.1 15. 1 351 373 940. 16. (a+b）（c-d）
三.解答题：本大题共5小题，满分70分，解答时应写出相应的解题过程证明过程及演算步骤。
17.解：ab?a?1?ab?a?abc?a(b?1?bc) ?a1?
ab?a?1b?1?bc而ac?c?1?ac?c?abc?c(a?1?ba)?ac(b?1?bc)
?c1?
ac?c?1a(b?1?bc)1b1a?ab?1????1
bc?b?1bc?b?1a(bc?b?1)a(b?1?bc)?原式=
18. (1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴， ∴ A，B的横坐标分别是2和– 2， 代入y =
12x+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)， 4∴M (0，2)， (2) ① 过点Q作QH ? x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，
yx?t?, 即： t = x – 2y , 241212 ∵ Q(x,y) 在y = x+1上， ∴ t = –x+ x –2.
42由△HQP∽△OMC，得：
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1?5, 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ? 2
∴x的取值范围是x ? 1?5, 且x?? 2的所有实数.
② 分两种情况讨论：
1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上， ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(∴t = –
12x+1)，解得x = 0 ， 4120+ 0 –2 = –2 . 22）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上， ∵CM∥PQ，CM =
1PQ， 2∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即当x = –23时，得t = –
12x+1=2?2，解得： x = ?23. 41(23)2–23–2 = –8 –23, 当x =23时， 得t =23–8. 2?,199}19. 解：（1）将集合I?{1,2,3,的所有元素分组为{1,199}、{2,198}、……、{99,101}、{100}，共100组；由已知得，集合A的100个元素只能从以上100个集合中
各取一个元素组成．
∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个， ∴集合A的所有元素之和必为偶数．
（2）不妨设a1,a2,?,a99为依次从以上前99个集合中选取的元素，a100?100， 且记各集合的落选元素分别为b1,b2,?,b99，则ai?bi?200，(i?1,2,?,99)， 由于1?2?3???n=
2222n(n?1)(2n?1)
622222∴ (a1?a2?a3???a1200)+(b12?b2???b99)
=1?2?3???199=
2222199(199?1)(2?199?1)=2646700，……①
619800， 而(a1?a2???a99)+(b1?b2???b99)=200?99＝(a1?a2???a99)=10002-100=9902，
∴ (b1?b2???b99)=19800-9902=9898 ∴ (a1?a2?a3???a100)-(b1?b2???b99)
222=(a1?b1)+(a2?b2)+…+(a99 ?b99)+a1002=(a1?b1)(a1?b1)+(a2?b2)(a2?b2)+…+(a99?b99)(a99?b99)+a100
22222222222=200[(a1?a2???a99)-(b1?b2???b99)]）+10000
（9902?9898）?10000＝10800 ……② =2002222由①②得：(a1?a2?a3???a100)=1328750 ．
20. 解：ab(a2?b2)?bc(b2?c2)?ca(c2?a2)
??(a?b)(b?c)(c?a)(a?b?c)．
设a?b?x，b?c?y，c?a?z，a?b?c?s，则a2?b2?c2?原不等式成为
122(x?y?2z?2s)． 3M(x2?y2?z2?s2)2≥9|xyzs|(x?y?z?0)．
x，y，z中两个同号而与另一个反号．不妨设 x，y≥0．则
1|z|?x?y，x2?y2≥(x?y)2，(x?y)2≥4xy．于是由算术－几何平均不等式
23111(x2?y2?z2?s2)2≥((x?y)2?s2)2＝((x?y)2?(x?y)2?(x?y)2?s2)2
22221≥(44(x?y)6s2)2?42(x?y)3|s|≥162|xyzs|
8即M?92时原不等式成立． 32等号在s?2，x?y?1，z??2，即a:b:c?(2?3):2:(2?3)时达到，故所求的最小的M?92． 3221.由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有 PA?BC?PC?AB?PB?AC．因此
f(P)?PA?BC?PC?AB?PD?CA?PB?CA?PD?CA?(PB?PD)?CA．
因为上面不等式当且仅当P、A、B、C顺次共圆时取等号，因此当且仅当P在?ABC的外接圆且在AC上时，f(P)?(PB?PD)?CA． 又因PB?PD?BD，此不等式当且仅当B,P,D共线且P在BD上时取等号．因此当且仅当P为?ABC的外接圆与BD的交点时，f(P)取最小值f(P)min?AC?BD．故当f(P)达最小值时，P、A、B、C四点共圆． （2）记?ECB??，则?ECA?2?，由正弦定理有
AEsin2?3，从而??ABsin3?23sin3??2sin2?，即3(3sin??4sin3?)?4sin?cos?，所以
33?43(1?cos2?)?4cos??0，整理得43cos2??4cos??3?0，
解得co?s?31或cos???（舍去），故??30，?ACE?60． 由已知223BC?3?1=ECsin??EAC?300?sin?EAC,有sin(?EAC?30)?(3?1)sin?EAC，即
312?31sin?EAC?cos?EAC?(3?1)sin?EAC，整理得sin?EAC?cos?EAC，22221故tan?EAC??2?3，可得?EAC?75，从而?E?45，
2?3?DAC??DCA??E?45，?ADC为等腰直角三角形．因AC?2，则CD?1．又?ABC也是等腰直角三角形，故BC?2，BD2?1?2?2?1?2cos135?5，BD?5．故
f(P)min?BD?AC?5?2?10．