令f?(x)?0?x(1?2lanx?)?0e?0x? aee；单调减区间为． ．．．．．．6分 )(,??)aa 所以函数f(x)的单调增区间为(0,x???x(1?2lnx)?（Ⅱ）∵?x|f?()(ax?1)?0???x|(ax?1)?0??x|0?x?e， 4aax??????即t?(0,e]
当a?1时，方程f(t)?am恒有实数解，等价于 即m?u(t)? ?u?(t)?lnat?am恒有实数解 t2lnat，t?(0,e] ．．．．．．8分 at2t(1?2latn)e?u(t)?0?， 0?t?at4a而a?1，e?e aee上单调递增，在上单调递减， )(,e)aa 函数u(t)在(0,函数m?u(t)?lnate在时取得最大值. t?2ata所以，函数m?u(t)?lnatea. ?u()?at2a2ea] ．∴ 实数m的取值范围是(??,．．．．．．．．．．．．12分 2e3、（Ⅰ）证明：当p?0时，f?x???lnx．令m?x??lnx?x?1，则m??x???1?若0?x?1,m??x??0，m?x?递增；若x?1,m??x??0，m?x?递减， 则x?1是m?x?的极（最）大值点．于是
1x1?x． xm?x??m?1??0，即lnx?x?1?0．故当p?0时，有f?x??1?x．………5分
p1px2?x?pp（Ⅱ）解：对f?x??px??lnx求导，得f??x??p?2??．
xxx2x1①若p?0，f??x????0，则f?x?在?0,???上单调递减，故p?0合题意．
x?1?11②若p?0，h?x??px?x?p?p?x???p?． ?p?2p4p4p??22则必须p?11
?0,f??x??0，故当p?时，f?x?在?0,???上单调递增． 4p2
1?0，则必须h?0??0,f??x??0， 2p③若p?0，h?x?的对称轴x?故当p?0时，f?x?在?0,???上单调递减．
?1??2?e2?2e（Ⅲ）解：令F?x??f?x??g?x??px?2lnx?．则问题等价于
px综合上述，p的取值范围是???,0???,???． ………………………10分
找一个x0?0使F?x??0成立，故只需满足函数的最小值F?x?min?0即可．
2e2?2e?px?e??px?2?e?p?e??2?e? 因F??x??p????x?x?????， 222xpxpxx?p??p?而x?0,1?p?2,故当0?x?e22?e??0,?0， pppee时，F??x??0，F?x?递减；当x?时，F??x??0，F?x?递增． pp于是，F?x?min?F???e?2?2lnp?e?2?2e?2lnp?4?0．
?p?与上述要求F?x?min?0相矛盾，故不存在符合条件的x0．……………………15分
2011年3月3日
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