20．（本小题满分13分）
已知函数
f?x??ex．
（I）当x?0时，设g（II）证明当x??
21．（本小题满分14分）
?x??f?x???a?1?x?a?R?．讨论函数g?x?的单调性；
?1?,1?时，f?x??x2?x?1． ?2??2?x2y22已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?过点Q?，且离心率． ?1,e????22ab??（I）求椭圆C的方程； （II）已知过点
?1,0?的直线l与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线x?2上是否存在点P，
使得?ABP是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
文科数学（三）
一、选择题：每小题5分，共50分．
1---5CCAAD 6---10ACBBD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）4；（12）2；（13）?1；（14）
1；（15）3． 27三、解答题：本大题共6小题，共75分． （16）解：（Ⅰ）由周期
12πππ2πT???,得T?π?, 2362?所以??2. ……2分
ππ时，f(x)?1，可得sin(2???)?1. 66πππ因为??,所以??.故f(x)?sin(2x?). ……………………4分
626?π2π?由图象可得f(x)的单调递减区间为?kπ?,kπ?,k?Z. ………6分 ?63??Aππ1（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin(2(?)?)?1, 即sinA?,
21262π又角A为锐角,∴A?． …………8分
63?,?sinB?1?cos2B?． ……………9分 ，00??BB??π?5?sinC?sin(??A?B)?sin(A?B) …………10分
当x??sinAcosB?cosAsinB?14334?33． ……12分山东中学联盟网 ????2525107?9?a?0.3100（17）解：（Ⅰ）由，得a?14， …………3分
∵7?9?a?20?18?4?5?6?b?100,∴b?17，
∴a?14，b?17； …………6分 （Ⅱ）由题意知a?b?31，且a?10,b?8，
∴满足条件的(a,b)有(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16), (16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20,11),(21,10),(22,9),(23,8)共14组．
且每组出现的可能性相同． …………9分 其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有：
(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16)共6组． …………11分
63?． …………12分 147（18）解：（Ⅰ）∵a2?1?d,a5?1?4d,a14?1?13d，且a2,a5,a14成等比数列，
2∴(1?4d)?(1?d)(1?13d)，解得，d?2， ……………………………………2分 ∴an?1?(n?1)?2?2n?1. ………………………………………4分
∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为
?a2?3,b3?a5?9,∴q?3,b1?1,bn?3n?1. ………………………6分
cnncc11cc22?????ann?（Ⅱ）∵…?11， ① bbbbb1122nn又∵b2
c1?a2，即c1?b1a2?3， ……………………………………………………7分 b1cncc?1?a(n?2)cc11?c22??…+?n?ann?1又?， ②
b1bb2bbbn?1∴
12ncn?an?1?an?2, bn(n?1)?3n?1c?∴cn?2bn?2?3(n?2)，∴n?，……………………………10分 n?12?3(n?2)?则c1?c2??c2014?3?2?31?2?32??2?32014?1
①?②，得
3(1?32013)?32014.……………………………12分 ?3?2?(3?3??3)?3?2?1?3?（19）解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，?AB//CD， AD?DC?CB?a,?ABC?60，?四边
形ABCD是等腰梯形，
??F且?DCA??DAC?30,?DCB?120，
M ???ACB??DCB??DCA?90，
E ?AC?BC． …………3分 又平面ACFE?平面ABCD，交线为AC，
?BC?平面ACFE ． …………6分
C D 3N……7分 a时，AM//平面BDF， （Ⅱ）当EM?B A 3在梯形ABCD中，设ACBD?N，连接FN，则CN:NA?1:2，
1220133a，而EF?AC?3a，?EM:MF?1:2， …………9分 3?MF//AN，?四边形ANFM是平行四边形，?AM//NF， ?EM?又?NF?平面BDF，AM?平面BDF?AM//平面BDF． …………12分 （20）解：（Ⅰ）g(x)?e?(a?1)x，所以g?(x)?ex?(a?1)．……………………2分
??)，g?(x)?0； 当x?0时，ex?1，故有：当a?1≤1，即a≤0时，x?(0，当a?1?1，即a?0时，ex?1，
令g?(x)?0，得x?ln(a?1)；令g?(x)?0，得0?x?ln(a?1)，………………………5分
x??)上是增函数； 综上，当a≤0时，g(x)在(0，ln(a?1))上是减函数，在(ln(a?1)，??)上是增函数．………6分 当a?0时，g(x)在(0，f(x)?(x2?x?1)?ex?x2?x?1，则h?(x)?ex?2x?1，
xx令m(x)?h?(x)?e?2x?1，则m?(x)?e?2， …………………………………8分
111因为x?[,1]，所以当x?[,ln2)时，m?(x)?0；m(x)在[,ln2)上是减函数，
222当x?(ln2,1]时，m?(x)?0，m(x)在(ln2,1]上是增函数，
11又m()?e?2?0,m(1)?e?3?0,所以当x?[,1]时,恒有m(x)?0,即h?(x)?0,
22117所以h(x)在[,1]上为减函数，所以h(x)?h()?e??0，
22412即当x?[,1]时，f(x)?x?x?1． …………………………………………13分
2（Ⅱ）设h(x)?
?c2,??22??a?a?2,（21）解：（Ⅰ）由题意得?……2分 解得?…………………4分 12??b?1.?1?2?22?1,?ab
2x?y2?1． …………………………………… 5分 所以椭圆C的方程为C:2（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，不存在符合题意的点P； …………………6分中学联盟网 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x?1?my(m?0),
x2?y2?1，整理得(m2?2)y2?2my?1?0, 代入22m1设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?y2??2，y1y2??2,
m?2m?2设存在符合题意的点P(2,t)(t?0)，
则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(m2?1)(y2?y1)2?m2?1(y1?y2)2?4y1y2 )2?(m2?1)(y2?y1)2?m2?1(y1?y2)2?4y1y2 222m2?122(m2?1), …………………………………8分 ?m?1??m2?2m2?2y?y2m??2设线段AB的中点M(x3,y3)，则y3?1， 2m?22所以x3?1?my3?2,
m?23因为?ABP是正三角形，所以AB?PM，且|PM|?|AB|, ……………9分
21y?y3由AB?PM得kAB?kPM??1即?P??1，所以yP?y3??m(xP?x3),
mxP?x32222(m?1)|?1?m?2所以|PM|?(xP?x3)?(yP?y3)?1?m?|2?2, m?2m?2222……………10分
2322(m2?1)322(m?1)由|PM|?， ?|AB|得1?m?222m?22m?2122解得m?，所以m??．……………………………………………………12分
22m2(m2?1))??m?2由yP?y3??m(xP?x3)得t?(?2,
m?2m?2m(2m2?3)42所以t??, )??m2?2542所以存在符合题意的点P(2,?)．………………………………………………14分
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