第1讲 多位数的运算
k
多位数的运算，涉及利用999＝10-1，提出公因数，递推等方法求解问题． ?9?????k个9
一、999?9＝10-1的运用 ?????k个9k
在多位数运算中，我们往往运用999?9＝10-1来转化问题； ?????k个9k
如：333?3×59049 ?????2004个3 我们把333?9÷3， ?3转化为999??????????2004个32004个9 于是原式为333?9÷3）×59049=999?9×59049=（1000?0-1）×?3×59049=（999????????????????????2004个32004个92004个92004个019683=19683×1000?0-19683 ?????2004个0 而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；
2004个9????????? 1968299?999999+1
2004个9
?????????1968299?999999?1?19683
如：，于是为1968299． ?980317?????????1999个9
?????????1999个91968299?980316?1
1999个9
?????????1968299?980317
简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数． 原式=333?3×2×3×3×333?3 ??????????2004个32008个3
=333?9 ?3×2×3×999??????????2004个32008个9=1999??98×（1000?0-1） ?????????2003个92008个0=1999??98×1000?0-1999??98 ?????????????2003个92008个02003个9学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 1 of 73
2003个92008个9????????????1999?979999999?99?1?1999??98????=
2003个0????????????1999?979998000?01?11999?979998000??02???????????2003个92003个02003个92003个9,于是为1999?979998000??02. ???????????2003个92003个0
2．计算111?1－222?2=A×A，求A． ????????2004个11002个2 【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有111?1，从而找出突破口. ???n个1 111?1－222?2=111?1000?0－111?1 ???????????????????2004个11002个21002个11002个01002个1 =111?1×（1000?0-1） ????????1002个11002个0 =111?1×（999?9） ????????1002个11002个9 =111?1×（111?1×3×3）=A2 ??????1002个11002个1 所以，A＝333?3. ?????1002个3
3．计算666?6×666?6×25的乘积数字和是多少? ??????????2004个62003个6 【分析与解】我们还是利用999?9=1000?0?1来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成??????????k个9k个0999?9，于是我们就创造条件使用： ?????k个922××25=[×（）]×[×（999666?6666?67999?9?9）+1]×25 ????????????????????332004个62003个62004个92004个9=[
22×（1000）]×[×（1000?0?1?0）+1]×25 ??????????332004个02004个0=
11××[2×1000?0-2]×[2×（1000?0）+1]×25 ??????????332004个02004个025×[4×1000?0-2×1000?0-2] ??????????94008个02004个0=
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=
1009×999??????9-50×999??????9 4008个992004个9=100×111????1-50×111????1 4008个12004个1=111?????100??555??????50(求差过程详见评注) 4008个12004个5=111??????10555??????50 2004个12004个5所以原式的乘积为111??????10555??????50 2004个12004个5那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024．
评注：对于111?????100??555??????50的计算，我们再详细的说一说．4008个12004个5111?????100??555??????50 4008个12004个5=111????1000??????0?111????100?555??????50 2005个12005个02003个12004个5=111????10999??????9?1?111????100?555??????50 2004个12005个92003个12004个5=111????10444??????49?111????101 2004个12004个42003个1=111????10555??????5 2004个12004个5
4．计算222??????2?222??????2的积? 1998个21998个2【分析与解】 我们先还是同上例来凑成999??????9； k个9222??????2?222??????2 1998个21998个2＝29????999?9?????????222???2 1998个9?????1998个2＝
29????1000?0?1?????????222??????2 1998个0??1998个2＝19????1000?0?1?????????444?4 ?????1998个0??1998个4＝1???444?4000?0?444?4??9? ????????????????1998个41998个01998个4??学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 3 of 73
＝?444?43555?56(求差过程详见评注) ??????????1997个41997个519 我们知道444?4能被9整除，商为：049382716． ?????9个4 又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除． 444?4355?????能被9整除，商为04938271595；
8个4 我们知道555?5能被9整除，商为：061728395； ?????9个5 这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除．
555??56能被9整除，商为0617284． ????6个5 于是，最终的商为：
?04938271604938271595061728395?0617283950617284 49382716049382716 ??????????????????????220个049382716221个061728395评注：对于444?4000?0-444?4计算，我们再详细的说一说． ???????????????1998个41998个01998个4 444?4000?0-444?4 ???????????????1998个41998个01998个4＝444??43999?9+1-444?4 ??????????????1997个41998个91998个4＝444??43555?5+1 ?????????1997个41998个5＝444??43555??56. ????????1997个41997个5
二、提出公因式
有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等．
5.
计
算
：（
1998+19981998+199819981998+
?
19981998?1998?????????1998个1998）÷
（1999+19991999+199919991999?19991999?1999?????????）×1999
1998个1999【分析与解】19981998?1998?1001?????????＝1998×10011001???????
1998个19981998个1001原式＝1998（1+10001+100010001+?10011001?1001???????）÷［1999×（1+10001+100010001+?
1998个1001］×1999＝1998÷1999×1999＝1998. 10011001?1001???????）
1998个1001
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6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少? 【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．
设1993×123=M，则(1000×123＝)123000 令M＝abcdef 则M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M ＝abcdef000000-abcdef ＝abcdef＝abcdef＝abcdef?f?f?f?1?999999+1－abcdef ?1??9?a??9?b??9?c??9?d??9?e??9?f?+1 ?1??9?a??9?b??9?c??9?d??9?e??9?f?1? 那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54． 所以原式的计算结果的数字和为54． 评注：M×999?9的数字和为9×k．(其中M的位数为x，且x≤k)． ?????k个9 256个9512个91024个9 7．试求9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9×999?9乘积的数字和为多少? ??????????????? 【分析与解】 通过上题的计算，由上题评注： 设9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9×999?9＝M， ???????????????256个9512个91024个9于是M×999?9类似?????1024个9的情况，于是，确定好M的位数即可； 注意到9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9＝M， ??????????256个9512个9则M<10×100×100013×100000000×?×1000?0×1000?0＝1000?0 ???????????????256个0512个0k个0 其中k=1+2+4+8+16+?+512=1024－l=1023； 即M<1000?0，即M最多为1023位数，所以满足?????1023个0的使用条件，那么M与999?9乘积的?????1024个9数字和为1024×9=10240—1024=9216． 原式的乘积数字和为9216． 三、递推法的运用 有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法． 学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 5 of 73