8．我们定义完全平方数A=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
222
121＝11；12321＝111；1234321＝1111??
于是，我们归纳为1234?n?4321=（111?1）???n个12
2
2
所以，1234567654321：1111111；则，1234567654321×49=1111111×7=7777777．所以，题中原式乘积为7777777的平方．
评注：以上归纳的公式1234?n?4321＝（111?1），只有在n<10时成立． ???n个12
222
?4888?89=A，求A为多少? 9.①444??????????2
2004个42003个8 ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
【分析与解】 方法一：问题①直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
?4888?89可以看成444?4888?89，其中n＝2004； ①注意到有444????????????????????2004个42003个82
n个4n-1个8 寻找规律：当n=1时，有49=7；
2
当n=2时，有4489=67；
2
当n=3时，有444889=667； ?? ??
?4888?89=666?67 于是，类推有444???????????????2004个42003个822003个6 方法二：下面给出严格计算：
?4888?89=444?8+1； 444?4000?0+888?????????????????????????2004个42003个82004个42004个02004个8?8+1＝111?0+8）+1 则444?4000?0+888?1×（4×1000???????????????????????2004个42004个02004个82004个12004个0?1×［4×（999?9+1）+8］+1 ＝111????????2004个12004个9?1×［4×（999?9）+12］+1 ＝111????????2004个12
2004个9?1）×36+12×111?1+1 ＝（111??????2004个12
2
2004个1?1）×6+2×（6×111?1）+1 ＝（111??????2004个12004个12
??67）＝（666????2003个6学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 6 of 73
?4888?89＝666?67 ②由①知444???????????????，于是数字和为(4n+8n一8+9)=12n+1=2005；
n个4n-1个82n-1个62?4888?89=666?4888?89. ?67于是，n=167，所以444?????????????????????????，所以存在，并且为444 167个4166个8166个6 167个4166个8
2008个6
10．计算666?6×9×333?3的乘积是多少? ??????????2008个3 【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162；
66×9×33=19602； 666×9×333=1996002； ?? ??
于是，猜想666?6×9×333??96000?02 ?3=1999???????????????????n个6n个3n?1个9n-1个0 666?6×9×333??96000?02 ?3=1999???????????????????2008个62008个32007个92007个0评注：我们与题l对比，发现题1为666?6×9×3×333?3使用递推的方法就有障??????????2008个62004个3碍,999?9=10—l这种方法适用面要广泛一点． ?????k
k个9 练习1．设N=666?6×9×777?7，则N的各位数字之和为多少? ??????????2000个62007个7 练习2．乘积999?9×999?9的积是多少?各位数字之和又是多少? ??????????1999个91999个9练习3．试求111?1×111?1的各位数字之和是多少? ??????2008个12008个1
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第2讲 计算综合（一）
繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：
甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲 循环小数与分数]．
711?4?26?27 1．计算：18135813?3?34167123?72317【分析与解】原式=46?2?12? ?4148812813?1233
2．计算：
【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有19顺序，如果分子与分母在195．于是，我们想到改变运算95后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；9如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：
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5919(?3?5.22)1993?0.41.6910原式=?(?)
5271995?0.5199519(?6?5.22)950519?1.321993?0.44?0.4?0.5=9?(?)
519?1.321995?0.41995?0.591993?20.40.41?)=1?=1?(=1
19950.50.54
3．计算：1?11?1?111987
【分析与解】原式=1?198619871=1?= 1987397339731?1986
4．计算：已知=
11+2+11x+14?8，则x等于多少? 11【分析与解】方法一：
11+2+11x+14?1?112?44x?1?18x?68??
4x?112x?7111?8x?6交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有1?12?1x?14?13113182 ?1?，所以2???2?；所以x??，那么x?1.25．
1342883x?4
5．求4,43,443,...,44...43???这10个数的和．
9个4 【分析与解】方法一：
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4+43+443?...?44...43???
9个4 =4?(44?1)?(444?1)?...?(44...4??1)
10个4 =4?44?444?...?44...4??9=
10个44?(9?99?999?...?999...9)????9 910个9 =
4?[(10?1)?(100?1)?(1000?1)?...?(1000...0?1)]?9 ?????910个04?111.100?????9=4938271591. 9?9个1 =
方法二：先计算这10个数的个位数字和为3?9+4=31；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36?3?39； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32?3?35； 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28?3?31； 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24?3?27； 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20?2?22； 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16?2?18； 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12?1?13； 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为8?1?9；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4． 所以，这10个数的和为4938271591．
6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?
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