1
形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
2π5π?【答案】??6，6?
111
【解析】 由题意得：|α||β|sinθ＝，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ＝≥.
22|β|2π5π?又∵θ∈(0，π)，∴θ∈??6，6?.
【解题技巧点睛】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等．最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)．在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．
针对训练
一．选择题
1.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】
31设向量a?(,cos?),向量b?(sin?,),且a//b,则锐角?为 （ ）
23 A．60°
答案：D .解析：
B．30°
C．75°
D．45°
??31??? ?a∥b,???cos??sin??0,?sin2??1.???(0,90),?2??90,???45.
232.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知a???3,1?,b??1,?2?，
若?2a?b∥a?kb，则实数k的值是( )
A. -17 B. ?答案：B
????1951 C. D.
183 2????解析： 由已知得?2a?b?(7,?4)，a?kb?(?3?k,1?2k)，又因为两向量平行，所以
17(1?2k)??4(?3?k)，计算可得实数k的值是?。
23.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】
???????????已知非零向量a，满足a?b?c?0，向量a，的夹角为60°，且，则向量a与cb，c，b，的夹角为 （ ）
A.600 B. 30° C. 120° D. 150° 答案：D
????????2??2??|c|=3. 解析：.?a?b?c?0,?c??(a?b).?|c|?(a?b)?2+2cos60?3.?
????????2??3 c?a=?(a?b)?a??|a|?a?b=?.设c与a的夹角为?，23???a?c3????=2??则cos??? ,???[0,180?],??=150.2|a||c|3?14.【2012海淀区高三年级第一学期期末试题】
????如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点.那么EF=
?1????1???（A）AB-AD
23?1????1???（C）AB+DA
32答案：D
?1????1??? （B）AB+AD
42?2????1??? （D）AB-AD
23????????????????1????解析： 在?CEF中，有EF?EC?CF,因E为DC的中点，故EC?DC,
2????2????因点F为BC的一个三分点，故CF?CB,
3????1????2????1????2????1????2?????EF?DC?CB?AB?DA?AB?AD.故选D.
2323235.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】在边长为1的正三角
????????????????????????形ABC中，BD?xBA,CE?yCA，x?0,y?0,且x?y?1，则CD?BE的最大值为
（ ）
5 83C．?
2A．?3 83D．?
4B．?答案：D
解析：如图所示，建立直角坐标系，则A(?,0),B(,0),C(0,12123),设D(x1,0),E(x2,y2), 2????????11?BD?xBA,?(x1?,0?0)?x(?1,0),?x1??x?;
22????????313133?CE?yCA,?(x2,y2?)?y(?,?),?x2??y,y2??y;
222222????????13x311CD?BE?(?x?,?)?(?1?,x)??(x2?x?1)，因0?x?1,?当x?时
222222386.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】在?ABC中，若对任意k?R，
函数取得最大值?.故答案为C.
????????????有BA?kBC?AC，则?ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 答案A
????????解析：如图所示，设kBC?BD,
则
D
为
BC
所
在
的
????????????????????B?Ak?BC?BA?BD?CA恒成立， DA直线上动点，又
????故在三角形ACD中，唯有?C?90?才能满足不等式恒成立，故答案为A。 7.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】在△ABC中，
的对边分别是aP是BC边中点，角A、B、C、b、c，若
?????????????，则△ABC的形状为 cAC?aPA?bPB?0
A.直角三角形
B.钝角三角形
D.等腰三角形但不是等边三角形.
C.等边三角形 答案：C
????1????????1?????????解析：由题意知c， ACa?(AB?AC)?b(AB?AC)?022????a????????a????a?b?ba?b??b∴(，∴(， c?)AC?AB?0c?)AC?AB2222?a?b?0??????????2又AB、AC不共线，∴?，∴a?b?c.
a?b?c??0??28.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】
已知a?(5,12),a?b?3,则b的取值范围是( ）
（Ａ）?9,15? （Ｂ）?10,16? （Ｃ）?11,17? （Ｄ）?12,18? 答案：B
???????????解析：因为b?a?(a?b)，由向量的三角形不等式|a|?|a?b|?|b|?|a|?|a?b|及
??|a|?13得：13?3?|b|?13?3，即b的取值范围是?10,16?。
9.（2012届景德镇市高三第一次质检）下列命题：①若向量a与向量b共线，向量b与向量c共线，则向量a与向量c共线；②若向量a与向量b共线，则存在唯一实数?，使
b??a；③若A,B,C三点不共线，O是平面ABC外一点，且
OM?111OA?OB?OC，则点M一定在平面ABC上，且在?ABC的内部。上述333命题中的真命题个数为
A．? B．? C．? D．? 【答案】B
【解析】①②若考虑零向量均不成立；对于③，由OM?111OA?OB?OC得333uuuruuuruuurrAM?BM?CM??，因此M是?ABC的重心.
10、【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】
?????????????，设O为?ABC所在平面上一点，若实数x、y、z满足xOA?yOB?zOC?0
(x2?y2?z2?0),则“xyz?0”是“O为?ABC的边所在直线上”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 答案：C
解析： 若x?0,y?0，z?0中有两个成立，此时O为三角形的顶点；若其中一个为零，
?????????????????，?yOB??zOC,?O,B,C三点共线，总是可例如x?0,y?0，z?0，yOB?zOC?0知“xyz?0”是“O为?ABC的边所在直线上”的充分不必要条件，显然，反之也成立，故答案为C。
11.【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】
????????BC主题(9) 如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AO·
的值是 (A) －8
(B) －1 (C) 1 (D) 8
答案D
解析： 取BC中点D，则OD⊥BC,
????????????????????????????????????????????????????AO?BC?(AD?DO)?BC=AD?BC?DO?BC=AD?BC 所以DO?BC?0，????????????2????2????????AB?ACAC?AB25?9=?(AC?AB)???8.
22212.【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试数学（理科）】 圆的圆心为O，半径为1，若方向上的射影的数量为（ ）
(A).
(B).
的外接在向量
，且，则向量
(C). 3
(D).
【答案】A
【解析】由已知可以知道，?ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此?ABC是直角三角形。且?A=?2，又因为
??|OA|?|CA|??C??3,?B???6,?AB?3,AC?1，故BA在BC上 ??的射影|BA|cos因此答案为A
?6?32二．填空题
13.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】
????????????在?ABC中，已知 AB?(2k?3,3k?1)，AC?(3,k)(k?R)，则BC=__；?B?90?，
则k=__ _．
答案： (?2k,?2k?1)；k??1或?????????????解析：BC?BA?AC?(?2k?3,?3k?1)?(3,k)?(?2k,?2k?1),因?B?90?，所以
1 10????????1BC?BA?0,?(?2k,?2k?1)?(?2k?3,?3k?1)?0,?10k2?11k?1?0,?k??1或-.10??14.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知|a|?2|b|?0，且关于
131?2??x的函数f(x)?x?|a|x?a?bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为_______.
32???答案 ?,??
?3??2???2??'解析：f(x)?x2?ax?a?b，因为函数f(x)在R上有极值，所以??a?4a?b?0，??a2???2??得??a?4a?b?0，解得a?b?，又因为a?2b?0，所以
4??2????aa?b1coasb?,??????，因为向量夹角的范围是?0,??，所以向量a,b的夹角范
a?b4a?b2???,??。 3??15.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】
????22a?(x?1,1),b?(1,y)x?ya?b，且，则的最小值为 已知向量
围是?答案：
??1212222解析：因为a?b，所以x?1?y?0，代入得x?y?x?(x?1)?2(x?)?，所
221122以当x?时，x?y取得最小值
2216.【2011杭师大附中高三年级第一次月考卷】
1 2