事件
A在每次试验中发生的概率, 则对任意区间[a,b],成立
lim 近似计算公式:
P{a??n?npnp(1?p)n????b}??ba1e2??t22dt??(b)??(a) .
由于N??n?M?N?np?n?npM?np??，
np(1?p)np(1?p)np(1?p)所以P{N??n?M}
?P{N?npnp(1?p)??n?npnp(1?p)?M?npnp(1?p)}??(M?npnp(1?p))??(N?npnp(1?p)) 。
例1 某计算机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有10个以上的终端在使用的概率.
解 方法一 以X表示使用终端的个数, 引人随机变量
?1,第i个终端在使用 Xi?? ,i?1,2,???,120 ,
?0,第i个终端不使用则 X?X1?X2?????X120 ,由于使用与否是独立的,所以X1,X2,???,X120相互独立, 且都服从相同的(0—1)分布,即
P{Xi?1}?p?0.05,P{Xi?0}?1?p,i?1,2,???,120
于是,所求概率为
P{X?10}?1?P{X?10}?1?P{由中心极限定理得 P{XX?npnp(1?p)?10?npnp(1?p)},
?10}?1?P{X?10}?1?P{10?npnp(1?p)X?np10?np?}
np(1?p)np(1?p) ?1??()?1??(10?120?0.05)?1??(1.68)?1?0.9535?0.0465 .
120?0.05?0.95方法二 以X表示使用终端的个数,根据题意知
X~B(n,p),n?120,p?0.05,??np?6,
所求概率为 P{X?10}?1?P{X?10}?1?
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?Ck?010knp(1?p)kn?ke?66k ?1??k!k?010e?66k???0.0426,(查泊松分布表).
k!k?11??例2 用契比雪夫不等式确定当投掷一枚均匀硬币时,需投多少次,才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90％ .并用德莫弗-拉普拉斯定理计算同一问题,然后进行比较.
解 用契比雪夫不等式估计n,设?n为投掷n次硬币出现正面的次数,则
?n~B(n,) , E(?n)?np?由题设 P{0.4?12nn , D(?n)?npq? , 24?nn?0.6}?P{0.4n??n?0.6n}
?P{?0.1n??n?0.5n?0.1n}?P{|?n?0.5n|?0.1n} ?P{|?n?E(?n)|?0.1n}?0.9,
又由契比雪夫不等式知(取??0.1n),
P{|?n?E(?n)|?0.1n}?1?由1?D(?n)0.25n, ?1?(0.1n)20.01n20.25n?0.9,得n?250.
0.01n2用德莫弗-拉普拉斯定理估计n,设?n为投掷n次硬币出现正面的次数,则
?n~B(n,) , E(?n)?np?由题设 P{0.4?12nn , D(?n)?npq? , 24?nn?0.6}?P{0.4n??n?0.6n}
?P{?0.1n??n?0.5n?0.1n}?P{|?n?0.5n|?0.1n}
?P{|?n?E(?n)??E(?n)0.1n|?}?P{|n|?0.2n}
D(?n)D(?n)D(?n)??(0.2n)??(?0.2n)?2?(0.2n)?1?0.9,
即?(0.2n)?0.95,查表得0.2n?z0.95?1.645,即n?68.
计算结果表明, 用契比雪夫不等式估计至少需要掷250次, 才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9;而用德莫弗-拉普拉斯定理估计至少需要掷68次, 才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9.说明用中心极限定理计算比用契比雪夫不等式估计精确.
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例3 现有一大批种子,其中良种占的比例与
1.现从中任选6000粒,试问在这些种子中,良种所占61之误差小1%的概率是多少？ 6解 设X表示良种个数, 则X 所求概率为P{|~B(n,p),n?6000,p?1 ,
6X1?|?0.01}?P{|X?np|?n?0.01} n6?P{|X?np6000?0.01X?npn?0.01|?} |?}?P{|np(1?p)15np(1?p)np(1?p)6000??66??(2.078)??(?2.078)?2?(2.078)?1?2?0.98?1?0.96 .
例4 设有30个电子器件D1,D2,???,D30,它们的使用情况如下: D1损坏,D2接着使
?1用; D2损坏,D3接着使用等等.设器件Di的使用寿命服从参数??0.1(单位:h)的指数分
布.令T为30个器件使用的总时数,问T超过350h的概率是多少？
解 设Xi为 器件Di的使用寿命,Xi 服从参数??0.1(单位:h?1)的指数分布,
相互独立,T?X1?X2?????Xn, n?30, ??EXi?1X1,X2,???,X30??1?10 , 0.1?2?DXi?1?2?1?100, 20.1由中心极限定理得
350?300) P{T?350}?1?P{T?350}?1?P{T?n??350?n?}?1??(30?10n?n??1??(5)?1??(0.91)?1?0.8186?0.1814 . 30例5 某单位设置一电话总机,共有200架电话分机. 设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话,假定每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要安装多少条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用.
解 方法一 依题意 设X为同时使用的电话分机个数, 则X~B(n,p),n?200,p?0.05,
?1,第i个分机在使用设安装了N条外线,引人随机变量Xi?? ,i?1,2,???,200 ,
?0,第i个分机不使用则X?X1?X2?????X200 ,
由于使用与否是独立的,所以
X1,X2,???,X200相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即
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P{Xi?1}?p?0.05,P{Xi?0}?1?p,i?1,2,???,200,{X?N}?保证每个分机都能即时
使用, P{X?N}?0.9 ,
0.9?P{X?N}?P{N?npX?npN?np) ?} ??(np(1?p)np(1?p)np(1?p)??(N?200?0.05N?10N?10) , )??()??(3.08200?0.05?0.959.5N?10?z0.9?1.28,N?1.28?3.08?10?13.94,取 N?14, 3.08查标准正态分布表
答: 需要安装14条外线.
方法二 设X为同时使用的电话分机个数,则
X~B(n,p),n?200,p?0.05, ??np?10;
设安装了N条外线, {X?N}?保证每个分机都能即时使用,
P{X?N}?0.9 ,
0.9?P{X?N}??Cp(1?p)knkk?0??Nn?k??e?1010ke?1010k, ???1??k!k!k?0k?N?1Ne?1010k?0.1,在列出的泊松分布表中没有??10的情形,此法就解决不了这个问题. ?k!k?N?1方法一是用中心极限定理解决问题的,从而体会中心极限定理的作用.
例6 作加法运算时,先对每个数取整(既四舍五进取作整数).设所有取整产生的误差是相互独立的,且都在区间(?0.5,0.5]上服从均匀分布,求最多几个数相加,方能保证误差总和的绝对值小于15的概率大于0.90.
解 X~U(?0.5,0.5],EX?0,DX?1; 设Xi 为第i个加数产生的误差, 12Xi~U(?0.5,0.5], X1,X2,???,Xn相互独立,
由中心极限定理,
Xi??1515P{|?Xi|?15}?P{?i?1?}
111i?1n?n?n?121212nn??(30333)??(?30)?2?(30)?1?0.90, nnn?(30
333032)?0.95, 30?z0.95?1.65,()?n,得 n?992。
1.65nn127
?nnk?n?1例7 利用中心极限定理证明 lim??e??. n???k?1k!?2证明：设
?Xk?为相互独立同分布的随机变量序列，共同的分布为参数??1的泊松分布，
服从参数为
又由服从泊松分布的独立随机变量具有可加性， 即
?Xk?1nk?1?n的泊松分布，
k?1nnnk?n?n?nnk?n?n所以有P??Xk?n???e ?e??e，
k?1k!?k?1?k?0k!又因为E?Xk??D?Xk??1，
由独立同分布的中心极限定理知
?n?limP??Xk?n? n???k?1??n?X?n?1??1n?n?1??k?1k???0??limP????， ?n??2n?1n?1????????nnnk?n?1所以lim?e??e??，
n??k?1k!??2nk?n1故有lim?e?.
n??2k?1k!n例 8 设随机变量Xn的概率密度为
nfn(x)?, ???x???,
?1?n2x2分布函数为Fn(x), 求limFn(x) 。
n??1解 limFn(x)?limn??n?????xfn(t)dt?lim?n??ndt
???1?n2t2x1?1,x?0?1nx11??lim?du??,x?0n?????1?u2?2??0,x?0例9 设随机变量Xn的概率密度为
。
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