fn(x)?n, ???x???,
?1?n2x21P试证 Xn???0,(n??) 。
证明 对任意?由于
?0，
P{|Xn|??}??|x|??fn(x)dx
?2??2??????fn(x)dx?2?1???ndx
?1?n2x21n?1du?0,(n??) ，
?1?u2P所以Xn???0,(n??) 。
例10 设随机变量Xn的概率密度为fn(x)?kn1(1?x)(1?|x|)21n,
???x???,
分布函数为Fn(x)，其中常数kn?0, 求limFn(x)。
n?? 解 由 由fn(x)的表达式 及?可知 kn?于是
????fn(x)dx?1 ，
2? ；
limfn(x)?n??1,x?02?1?x ，
1且是在(??,0)和(0,??)内是内闭一致收敛的；
0?fn(x)?又
n??x1?1?x2，
n????2所以limFn(x)?lim?xfn(t)dt??limfn(t)dt
??n??x??
1111xdt?arctant|?arctanx? 。 ?????1?t2??21例11设随机变量序列X1,X2,???,Xn,???独立同分布, 且存在有限的数学期望和方差
129
EX??,DX??ii2, (i?1,2,???)；
EXi2?DXi?(EXi)2??2??2，
1X??Xnni?1i1n，A2??Xi2，
ni?1n1Sn2??(Xi?X)2，
ni?1试证：（1）
PX????,(n??)；
P22A??????,(n??)； （2）2P22X????,(n??)； （3）
（4）Sn2P????2,(n??) 。
证明 利用贝努利大数定律可得（1）的结果；
直接利用辛钦大数定律可得（2）的结果；
22E|X??|?E|X??||X??| （3）
11 ?(E|X??|)(E|X??|)221222，
显然{(E|X??|)2}有界，
1E|X??|2?DX??2?0,(n??)，
n22E|X??|?0,(n??)， 于是
进而得
PX2????2,(n??)；
nn211222S??(Xi?X)?[?Xi?nX] （4）nni?1ni?121n2 ??Xi?X，
ni?1P???(?2??2)??2??2,(n??) 。
130
例12 设随机变量X1,X2,???,Xn,???独立同分布,且存在有限的数学期望和方差
EXk??,DXk??2?0, (k?1,2,???)
n2kXk, 记Yn??n(n?1)k?1P试证Yn????,(n??) 。
证明 由条件，可知
nn222n(n?1)EYn?kEX?k?????， ??kn(n?1)k?1n(n?1)k?1n(n?1)2nn22222DYn?()?kDXk?()?k2?2
n(n?1)k?1n(n?1)k?1?(2122n?12)2n(n?1)(2n?1)?2??，
n(n?1)63n(n?1)n??显然limDYn?0，
对任意
??0，成立
DYn1?P{|Yn??|??}?P{|Yn?EYn|??}?1?在上式中,令
n???2,
n??,即得
limP{|Yn??|??}?1，
P故得 Yn????,(n??) 。
131