2017—2018学年度第二学期期末检测试题
高 一 数 学
2018.06
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1． 求值:sin75??cos75?? ▲ ． 2． 不等式x2?x?2?0的解集是 ▲ ．
3． 在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若A?30?,a?3，则
csinC= ▲ ．
?x?y?2?4． 已知变量x,y满足?x?0，则z?y?x的最大值为 ▲ ．
?y?0?5． 已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn?n2?n(n?N*),则数列{an}通项公式
an? ▲ ．
6． 函数f(x)?4sinx?3cosx?1的最大值为___▲____．
7． 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?2:3:4，则cosC的值为 ▲ ． 8． 已知数列{an}的通项公式为an?1，则它的前20项的和为 ▲ ．
(2n?1)(2n?1)9． 已知正四棱柱的底面边长为2cm，侧面的对角线长是7cm，则这个正四棱柱的体积 是 ▲ cm3．
10． 设?，?为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m??，n??，m∥?，n∥?，则?∥?； ②若?∥?，l??，则l∥?； ③若l⊥m，l⊥n，则m∥n； ④若l⊥?，l∥?，则?⊥? . 其中真命题的序号是 ▲ ．
11． 设Sn,Tn分别是等差数列?an?,?bn?的前n项和,已知
Snn?1,n?N*, ?Tn2n?1则
a4? ▲ ． b412． 如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A、B两处观察山顶C的仰角分别是30?和45?，
两个观察点A、B之间的距离是100米，则此山CD的高度为 ▲ 米.
13． 已知正实数x,y满足x?y?xy，则
3x2y的最小值为 ▲ ． ?x?1y?114． 对于数列{xn}，若对任意n?N*，都有xn?2?xn?1?xn?1?xn成立，则称数列{xn}为“增
t(3n?n2)?1*差数列”.设an?，若数列（）是“增差a,a,a,?,an?4,n?N456nn3数列”，则实数t的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分14分）
P、Q、R. 如图,在正方体ABCD?A1BC11D1中, 棱AA1、BB1、CC1上的中点分别为
（1）求证：PQ//平面ABCD;（2）求证：平面PQR?平面BB1D1D.
16．（本小题满分14分） 已知cos(???4.
)??2，??(0,)．
210（1）求sin?的值； （2）若cos??
17.（本小题满分15分）
已知等比数列?an?的公比q?0，a1a5?8a2，且3a4,28,a6成等差数列.
1，??(0,?)，求cos(??2?)的值. 3?1?求数列?an?的通项公式; ?2?记bn?2n，求数列?bn?的前n项和Tn.
an
18.（本小题满分15分）
设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其外接圆的直径为1,
b2?c2?sin2A?2sin2B?sinC，且角B为钝角.
（1）求B?A的值；
（2）求2a2?c2的取值范围． 19．（本小题满分16分）
共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润。现某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车。该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16?10元. 设在每个省投放共享汽车的市的数量相同（假设每个省的市的数量足够多），每个市都投放1000辆共享汽车.由于各个市的多种因素的差异，在第n个市的每辆共享汽车的管理成本为(kn?1000)元(其中k为常数)．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元.（本题中不考虑共享汽车本身的费用）
注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用,平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车总数. （1）求k的值；
6
（2）问要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？ 20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的前n项和为Sn,a4=2且2Sn?n?nan,数列?bn?满足bn?10an?22n?n?N?,
?(1)证明：数列{an}为等差数列；
(2)是否存在正整数p，q(1 2017—2018学年度第二学期期末检测试题 一、填空题： 1. 高一 数 学 参 考 答 案 11 2. (?1,2) 3. 23 4.2 5.2n 6. 4 7. ? 442088. 9. 43 10. ②④ 11. 12. 503?50 13. 5?26 411314. ??2?,??? ?15?二、解答题： 15．证明：（1）在正方体ABCD?A∵P、Q分别为棱AA1、BB1的1BC11D1中, AA1//BB1，中点，∴AP//BQ，∴四边形ABQP为平行四边形，∴PQ//AB ……3分 ∵PQ//AB，PQ?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PQ//平面ABCD。……6分 （2）在正方体ABCD?A1BC11D1中,BB1?AB，由(1)知PQ//AB， ∴BB1?PQ。 ………………9分 同理可得BB1?QR. ∵BB1?PQ，BB1?QR，PQQR?Q，PQ?平面PQR，QR?平面PQR， ∴BB1?平面PQR。 ………………12分 ∵BB1?平面PQR，BB1?平面BB1D1D，∴平面PQR?平面BB1D1D。………14分 16.解：（1） ???3???(0,),????(,),又 2444?2?72, ……3分 cos(??)??sin(??)?410410?sin??sin[(??（2）??(0,??2??3)?]?[sin(??)?cos(??)]? .…………6分 44244534),sin??,?cos??, .…………7分 255122cos??，??(0,?)，?sin??， 33??sin2??427,cos2???， … ………………………11分 99