点评：本题是一个综合应用题，用到了相似三角形的性质，方程的解法，是一个函数与三角形的综合问题．
8．（云南）如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，半圆圆心D的坐标为（0，2），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（6，0）．
（1）若过点P（2，0）且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边交于点H与点E，求切线PF所在直线的解析式；
（2）若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P1和P2（点P1、P2与点O、C不重合），请求P1、P2点的坐标并说明理由．（注：第（2）问可利用备用图作答）．
考点：一次函数综合题。 专题：压轴题。
分析：（1）设出切线PH所在直线的解析式，过E点作ET⊥x轴于点T，连接DP、DF，则DF⊥PE，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出E点的坐标，根据直线过P、E两点，列出方程组求出未知数的值，进而求出切线的解析式； （2）分当k＜0，设过点A且与半圆相切于P1点的切线方程为y=k1x+b1，P1点的坐标为（x1，y1），切线与边BC交于点S，过点S作ST1⊥x轴于点T1．利用三角形相似求出P1点的坐标． k＞0时，据圆的对称性知P2点是P1点关于直线y=2对称的点，从而可得P2点的坐标． 解答：解：（1）设切线PH所在直线的解析式为y=kx+b．（1分）
解法一：设E点的坐标为（xE，4），过E点作ET⊥x轴于点T，连接DP、DF，则DF⊥PE， 在Rt△DOP和Rt△DFP中，∵OP=PF，OD=DF，∴△DOP≌△DFP． 在Rt△DOP中，tan∠DPO=
=
．
∴∠DPO=30°，从而知∠OPEe=60度． 在Rt△EPT中，可求得PT=∴E点的坐标为（
，
，4）．（4分）
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∵直线过P、E两点，∴
∴切线PF所在直线的解析式为y=﹣
解方程组，得x+6．（6分）
解法二：∵点P的坐标为（2，0），且直线y=kx+b过点P， ∴2k+b=0，b=﹣2k．
设E点的坐标为（xE，4），过E点作ET⊥x轴于点T． ∵切线过E点，
∴kxE+b=4，xE=（4﹣b）． ∵EC=EF，PF=PO， ∴PE=EF+FP．（4分）
222
在Rt△ETP中，PE=ET+PT， ∴[（4﹣b）+2
]=4+[2
2
2
﹣（4﹣b）]，解方程，得k=﹣
x+6．（6分）
2
，b=6．
∴切线PF所在直线的解析式为y=﹣
（2）如备用图，
（ⅰ）当k＜0时，设过点A且与半圆相切于P1点的切线方程为y=k1x+b1，P1点的坐标为（x1，y1），切线与边BC交于点S，过点S作ST1⊥x轴于点T1． 同上理，可得b1=﹣6k1，∴[
（4﹣b1）+6]=4+[6﹣
2
2
（4﹣b1）]，
2
解方程，得k1=﹣，b1=．（8分） ∵直线y=k1x+b1与边BC交于点S（x2，4），
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∴4=﹣x2+，解方程，得x2=．
∵=，
∴（+6）y1=6×4，解得y1=，代入y=﹣x+，解得x1=．
）．（10分）
∴所求满足条件的P1点的坐标为（，
（ⅱ）当k＞0时，据圆的对称性知P2点是P1点关于直线y=2对称的点，从而可得P2点的坐标为（，）．（12分）
点评：此题难度很大，把一次函数，圆，三角形的知识结合起来，综合性很强，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求出结论．
9．（厦门）如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2． （1）求OB和OM的值；
（2）求直线OD所对应的函数关系式；
（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
考点：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质。 专题：综合题；压轴题。
分析：（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2，所以OB=4； 因为
=，所以
=，OM=．
=
=，故DB=1，D（1，2
）．故
（2）由（1）得：OM=，即BM=．由于DB∥OA，易证过OD的直线所对应的函数关系式是y=2
x．
（3）依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，由于tan∠PON=对应的函数关系式是y=2
=x，
，故∠PON=60°，OP=t，故ON=t，PN=t，直线OD所
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设E（n，2）易证得△APN∽△AEF，故
×
，
=，故n=，由此，
S△OAE=OA?EF=×2×2∴S=
（0＜t≤）；
当＜t＜4时，点E在BD边上，此时，S梯形OABD=S△ABE 由于DB∥OA，易证：∴△EPB∽△APO， ∴∴
==
， ，BE=
，
可分别求出三角形的值．
解答：解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2∴OB=4， ∵
=，∴
=，
，
∴OM=．
（2）由（1）得：OM=， ∴BM=， ∵DB∥OA，易证
=
=，
∴DB=1，D（1，2），
∴过OD的直线所对应的函数关系式是y=2
（3）依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，
x．
分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N， ∵tan∠PON=
=
，∴∠PON=60°， t，
，
=
，
OP=t．∴ON=t，PN=
∵直线OD所对应的函数关系式是y=2设E（n，2
）易证得△APN∽△AEF，∴
∴=，
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整理得：=，
∴8n﹣nt=2t，n（8﹣t）=2t， ∴n=
．
×
，
由此，S△OAE=OA?EF=×2×2∴S=
（0＜t≤），
当＜t＜4时，点E在BD边上， 此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OFED， ∵DB∥OA，
易证：△EPB∽△APO， ∴BE=
=
，∴
=，
×2﹣
×2
==3
×2﹣
， ×2
=﹣
+5
，
，
S△ABE=BE?AB=×∴S=（1+2）×2
综上所述：S=．
（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2， 易求得：∠OAB=30°，∴OB=4．
解法2：分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N， 由①得，∠OBA=30°， ∵OP=t，∴ON=t，PN=即：P（t，
t，
t），又（2，0），
设经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=kx+b， 则
，
解得：k=，b=，
x+
．
∴经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=
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