第十章 电磁感应与电磁场
10-1 在一长直密绕的螺线管中间放一正方形小线圈，若螺线管长1 m，绕了1000匝，通以电流 I =10cos100?t (SI)，正方形小线圈每边长5 cm，共 100匝，电阻为1 ?，求线圈中感应电流的最大值(正
a方形线圈的法线方向与螺线管的轴线方向一致，???=4?×10-7 T·m/A．)
（答案：0.987 A）
-10-2 如图所示，真空中一长直导线通有电流I (t) =I0e?t (式中I0、
I (t)?为常量，t为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行
共面，二者相距a．矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度 a?为b，并且以匀速v(方向平行长直导线)滑动．若忽略线框中的自
b感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感应电动势??I ，并讨论??i方向．
（答案：
?v
?02?vI0e??t(?t?1)lna?b，??t <1时，逆时针；??t >1时，顺时针） a I
10-3 如图所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面．且导线框的一个边与长直导线平行，他到两长直导线的距离分别为r1、r2．已知两导线中电流都为I?I0sin?t，其中I0和?为常数，t为时间．导线框长为a宽为b，求导线框中的感应电动势．
（答案：? I b a r2 r1 O x?0I0a?2?(r?b)(r2?b)ln[1]cos?t）
r1r2
10-4 无限长直导线，通以常定电流I．有一与之共面的直角三角形线圈ABC．已知AC边长为b，且与长直导
?线平行，BC边长为a．若线圈以垂直于导线方向的速度v向右平移，当B点与长直导线的距离为d时，求线圈ABC内的感应电动势的大小和感应电动势的方向． （答案：
A I B d c a b C?v ?0Ib2πa(lna?da?)v，ACBA顺时针方向） da?d
10-5 如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速?度v沿垂直于导线的方向离开导线．设t =0时，线圈位于图
I示位置，求
(1) 在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量?． a (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势?．
l?v b
1
（答案：
?0Il2πlnb?vt?0lIv(b?a)；） a?vt2?ab
10-6 长直导线和矩形导线框共面如图，线框的短边与导线平行．如果矩形线框中有电流i =I0sin?t，则长直导线中就有感应电动势，试证明其值为： ?i???0cI0?2?
10-7 载流长直导线与矩形回路ABCD共面，导线平行
于AB，如图所示．求下列情况下ABCD中的感应电动势： I (1) 长直导线中电流I = I0不变，ABCD以垂直于导线的
? a A B速度v从图示初始位置远离导线匀速平移到某一位置时(t时刻)． ? bv (2) 长直导线中电流I = I0 sin? t，ABCD不动．
(3) 长直导线中电流I = I0 sin? t，ABCD以垂直于导线 D C l? 的速度v远离导线匀速运动，初始位置也如图． （答案：b(ln)cos?t
a a i b c?0Ilv2?(?lI?a?b11cos?t；?)，沿ABCD顺时针方向；?00ln2?aa?vta?b?vt?0I0sin?t lv2?(?lI?b?b?vt11?)?00lncos?t）
a?vta?b?vt2?a?vtx r I R
10-8 两个半径分别为R和r的同轴圆形线圈相距x，且R >>r，x >>R．若大线圈通有电流I而小线圈沿x轴方向以速率v运动，试求x =NR时(N为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小．
（答案：3?0?r2Iv/(2N4R2)）
10-9 如图所示，有一弯成??角的金属架COD放在磁
v x
M?场中，磁感强度B的方向垂直于金属架COD所在平面．一
?导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向
?右滑动，v与MN垂直．设t =0时，x = 0．求下列两情形，
C v 框架内的感应电动势?i． O ?B???D? x (1) 磁场分布均匀，且B不随时间改变． N (2) 非均匀的时变磁场B?Kxcos?t．
13322（答案：Btg?vt，在导体MN内?i方向由M向N；Kvtg?(?tsin?t?tcos?t)）
3
2
? 10-10 载有电流的I长直导线附近，放一导体半圆环 v MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂e 直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以b ?I M O N 速度 v平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压UM ? UN ． a （答案：
?0Iv2?lna?b） a?b?Ba lb
10-11 有一很长的长方的U形导轨，与水平面成?角，裸
?导线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感强度B竖直
向上的均匀磁场中，如图所示．设导线ab的质量为m，电阻d为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形成电路，t =0
c 时，v =0. 试求：导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系． ?mgRsin?(1?e?ct)） （答案：v?222Blcos?
? 10-12 求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的
?定轴OO＇转动时的动生电动势．已知杆相对于均匀磁场B的方位角为
???，杆的角速度为?，转向如图所示．
???BO′122（答案：?BLsin?，方向沿着杆指向上端）
2
10-13 如图所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、长度为l的金属棒AB在包含导线的平面内，以恒定的
?速度v沿与棒成?角的方向移动．开始时，棒的A端到导线的距离为a，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高． （答案：?
10-14 在匀强磁场B中，导线OM?MN?a，∠OMN = 120°， OMN整体可绕O点在垂直于磁场的平面内逆时针转动，如图所示．若转动角速度为?，
(1) 求OM间电势差UOM， (2) 求ON间电势差UON， (3) 指出O、M、N三点中哪点电势最高．
2（答案：?aB；3?aB/2；O点电势最高）
LO
?v IA a l??B
?0I2?vsin?lna?l?vtcos?，A端的电势高）
a?vtcos???? N 60° O a M ?B
122
3
10-15 如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直 轴O1O2以角速度?在水平面内旋转．O1O2在离细杆a
O1 a O L /5 O 2?端L /5处．若已知地磁场在竖直方向的分量为B．求ab两端间的电势差Ua?Ub．
32（答案：??BL）
10
????B b
10-16 一长直导线载有电流I，在它的旁边有一段直导线 AB（AB?L），长直载流导线与直导线在同一平面
??内，夹角为?．直导线AB以速度 v（v的方向垂直于载流导线）运动．已知：I =100A，v =5.0m/s，a =2cm，AB?16cm，求：
(1) 在图示位置AB导线中的感应电动势?． (2) A和B哪端电势高．
10-17 在相距2r+l的平行长直载流导线中间放置一固定的∏字形支架，如图．该支架由硬导线和一电阻串联而成且与载流导线在同一平面内．两长直导线中电流的方向相反，大小均为I．金属杆DE垂直嵌在支架两臂导线之间，以速度v在支架上滑动，求此时DE中的感应电动势．
I ?aAB?v
（答案：2.79?10-4V；B端电势高）
I B r D l A r E Ir?lln（答案：，方向从D向E） πr
10-18 如图所示，有一中心挖空的水平金属圆盘，内圆半 径为R1，外圆半径为R2．圆盘绕竖直中心轴O′O″以角速度
?0Iv?v
O′ R2 ??匀速转动．均匀磁场B的方向为竖直向上．求圆盘的内圆边
缘处C点与外圆边缘A点之间的动生电动势的大小及指向． A R 1 C ?? ?122（答案：?B(R2?R1)，指向：C─→A）
2O″ B
? 10-19 在半径为R的圆柱形空间内，存在磁感强度为B的 ?均匀磁场，B的方向与圆柱的轴线平行．有一无限长直导线在
垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a >R，如图所示．已知磁感强度随时间的变化率为dB /dt，求长直导线中的感应电动势?，并说明其方向．
（答案：
???B R O a
12?RdB/dt，若dB /dt >0，则??方向从左向右） 2
10-20 一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm．环心材料的磁导率??=?0．求在
-电流强度I为多大时，线圈中磁场的能量密度w =1 J/ m3？ (???=4?×107 T·m/A)
（答案：1.26 A）
4
10-21 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心线相距d，属于同一回路．设两导线内部的磁通都略去不计，证明这样一对导线单位长的自感系数为L??0lnd?a ?a（答案：）
10-22 一螺绕环共N匝线圈，截面为长方形，其尺寸如图. 试用能量法证明此螺绕环自感系数为： L?
?0N2h2?lnb a a b h
10-23 一圆柱体长直导线，均匀地通有电流I，证明导线内部单位长度储存的磁场能量为Wm??0I2/(16?)(设导体的相对磁导率?r?1)．
- 10-24 给电容为C的平行板电容器充电，电流为i = 0.2et ( SI )，t = 0时电容器极板上无电荷．求：
(1) 极板间电压U随时间t而变化的关系．
(2) t时刻极板间总的位移电流Id (忽略边缘效应)．
（答案：
0.2(1?e?t)；0.2e?t） C
10-25 一球形电容器, 内导体半径为R1，外导体半径为R2．两球间充有相对介电常数为?r的介质. 在电容器上加电压，内球对外球的电压为 U = U0sin?t．假设?不太大，以致电容器电场分布与静态场情形近似相同，求介质中各处的位移电流密度，再计算通过半径为r (R1 < r < R2) 的球面的总位移电流．
（答案：
4??0?rR1R2U0?cos?t）
R2?R1iadb
10-26 如图所示，在真空中，一电容器由a、b两个平行的圆形金属板组成，金属板半径为r，两板间距为d．今对电容器进行充电，试用坡印亭矢量证明电磁场供给电容器能量的速率，恰为电容器存储的静电场能的时间变化率． （忽略电容器的边缘效应）
r 5