（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
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八年级数学提优练习题 参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（ ）个．
①②③ ①②④ ①③④ ①②③④ A．B． C． D． 考点： 等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．4387773 分析： ①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解； ②证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形； ③首先证明∴△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP． ④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即可求解． 解答： 解：连接OB， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°， ∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°， ∵OP=OC， ∴OB=OC=OP， ∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO， ∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°； 故①正确； ∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°， ∴∠APC+∠DCP=150°， ∵∠APO+∠DCO=30°， ∴∠OPC+∠OCP=120°， ∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°， ∵OP=OC， ∴△OPC是等边三角形； 故②正确； 在AC上截取AE=PA， ∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA， ∴∠APO+∠OPE=60°， ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°， ∴∠APO=∠CPE， 7
∵OP=CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO=CE， ∴AC=AE+CE=AO+AP； 故③正确； 过点C作CH⊥AB于H， ∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC， ∴CH=CD， ∴S△ABC=AB?CH， S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=AP?CH+OA?CD=AP?CH+OA?CH=CH?（AP+OA）=CH?AC， ∴S△ABC=S四边形AOCP； 故④正确． 故选D． 点评： 本题考查了等腰 三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线． 2．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（ ）
PB=PC A．PA=PD B． ∠BPC=90° C． ∠APB=∠DPC D． 8
考点： 轴对称-最短路线问题；直角梯形． 专题： 压轴题；动点型． 分析： 首先根据轴对称的知识，可知P点的位置是连接点B和点C关于AD的对称点E与AD的交点，利用轴对称和对顶角相等的性质可得． 解答： 解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP． 根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD， 根据对顶角相等知∠APB=∠EPD， 所以∠APB=∠DPC． 故选D． 点评： 此题的关键是应知点P是怎样确定的．要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定． 3．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，
转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：①AG=CE ②DG=DE
③BG﹣AC=CE ④S△BDG﹣S△CDE=S△ABC
其中总是成立的是（ ） ①②③ ①②③④ ②③④ ①②④ A．B． C． D． 考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质．4387773 专题： 开放型． 分析： 连DA，由△ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，根据等腰直角三角形的性质得AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°，得到∠GAD=∠ECD=135°，由∠EDF=90°，根据同角的余角相等得到∠1=∠2，所以△DAG≌△DCE，AG=EC，DG=DE，由此可分别判断． 解答： 解：连DA，如图， ∵△ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°， ∴∠GAD=∠ECD=135°， 又∵△DEF是一个含30°角的直角三角形， 9
∴∠EDF=90°， ∴∠1=∠2， ∴△DAG≌△DCE， ∴AG=EC，DG=DE，所以①②正确； ∵AB=AC， ∴BG﹣AC=BG﹣AB=AG=EC，所以③正确； ∵S△BDG﹣S△CDE=S△BDG﹣S△ADG=S△ADB=S△ABC．所以④正确． 故选B． 点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直三角形的性质，特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的一半． 4．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④
=1．其中正确的是（ ）
①②③ ①②④ ①③④ ①②③④ A．B． C． D． 考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．4387773 分析： ①根据：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA=165°，从而得证结论正确； ②根据CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论； ③根据∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性质和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出结论； ④过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=AC，求证△CMD≌△CND，可得CN=CM=AC=BC，从而得出CN=BN．然后即可得出结论． 解答： 解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=（180°﹣30°）=75°， 10