∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°， ∴∠ECA=165°∴①正确； ②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证）， ∴∠BAE=∠ECA﹣∠ACB=165﹣90=75°， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=BC，∴②正确； ③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC， ∴∠CAB=∠ACB=45° ∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45﹣30=15°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBE=30°， ∴∠ABF=45+30=75°， ∴∠AFB=180﹣15﹣75=90°， ∴AD⊥BE． ④证明：如图， 过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N． ∵∠CAD=30°，且DM=AC， ∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°， ∴∠NCD=90°﹣∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC﹣∠ACD=15°， ∴△CMD≌△CND， ∴CN=CM=AC=BC， ∴CN=BN． ∵DN⊥BC， ∴BD=CD．∴④正确． 所以4个结论都正确． 故选D． 点评： 此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题． 5．如图，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交 CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则CF=DF．其中正确的有（ ）
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①②③ ①②④ ①③④ ②③④ A．B． C． D． 考点： 直角梯形；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．4387773 分析： 由BC∥AM得∠CDA=105°，根据等边三角形的性质得∠CDE=60°，则∠EDA=105°﹣60°=45°；过C作CG⊥AM，则四边形ABCG为矩形，于是∠DCG=90°﹣∠BCD=15°，而∠BCE=75°﹣60°=15°，易证得Rt△CBE≌Rt△CGD，则BC=CG，得到AB=BC；由于AG=BC，而AG≠MD，则CF：FD=BC：MD≠1，不能得到F点是CD的中点，根据等边三角形的性质则不能得到 EF⊥CD；若∠AMB=30°，则∠CBF=30°，在Rt△AMB中根据含30度的直角三角形三边的关系得到BM=2AB，则BM=2BC， 易得∠BFC=75°，所以BF=BC，得MF=BF，由CB∥AM得CF：FD=BF：MF=1，即可有CF=DF． 解答： 解：∵BC∥AM， ∴∠BCD+∠CDA=180°， ∵∠BCD=75°， ∴∠CDA=105°， ∵△CDE为等边三角形， ∴∠CDE=60°， ∴∠EDA=105°﹣60°=45°，所以①正确； 过C作CG⊥AM，如图， ∵∠A=90°， ∴四边形ABCG为矩形， ∴∠DCG=90°﹣∠BCD=15°， 而△CDE为等边三角形， ∴∠DCE=60°，CE=CD， ∴∠BCE=75°﹣60°=15°， ∴Rt△CBE≌Rt△CGD， ∴BC=CG， ∴AB=BC，所以②正确； ∵AG=BC，而AG≠MD， ∴CF：FD=BC：MD≠1， ∴F点不是CD的中点， ∴EF不垂直CD，所以③错误； 若∠AMB=30°，则∠CBF=30°， ∴在Rt△AMB中，BM=2AB， ∴BM=2BC， ∵∠BCD=75°， ∴∠BFC=180°﹣30°﹣75°=75°， ∴BF=BC， ∴MF=BF， 而CB∥AM， 12
∴CF：FD=BF：MF=1， ∴CF=FD，所以④正确． 故选B． 点评： 本题考查了直角梯形的性质：有一组对边平行，另一组对边不平行，且有一个直角．也考查了矩形和等边三角形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及相似三角形的判定与性质． 6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G．给出四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．4387773 分析： 根据等腰直角三角形的性质得：AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确． 解答： 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点， ∴AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C． ∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°， ∴∠FPC=∠EPA． ∴△APE≌△CPF（ASA）． ∴①AE=CF；③EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形； ∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点， ∴AP=BC， ∵EF不是△ABC的中位线， ∴EF≠AP，故②错误； ④∵∠AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°， ∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°， ∴∠AEP=∠AGF． 故正确的有①、③、④，共三个． 因此选C． 点评： 此题考查全等三角形的判定和性质，综合性较强． 13
7．如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列结论：①BE=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL=∠ABC，其中正确的结论是（ ）
①②③ ①④ ①②③④ ①② A．B． C． D． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．4387773 分析： 根据角平分线定义求出∠ABE=∠EBC=∠C，根据等角对等边求出BE=CE，即可判断①； 证△ABE∽△ACB，推出AB2=AE×AC，求出AF2=AB2﹣BF2=AE2﹣EF2，把 AB2=AE×AC代入入上式即可求出BF=AE+EF，即可判断②； 延长AB到N，使BN=BM，连接MN，证△AMC≌△AMN，△AFB≌△BLF，推出AB=BL，即可判断③； 设∠LAC=x°，∠LAM=y°，则∠BAM=∠MAC=（x+y）°，证△AFB≌△BLF推出∠BAF=∠BLF，∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，得出方程x°+y°+y°=∠C+x°，求出∠C=2y°，∠ABC=4y°，即可判断④． 解答： 解：∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠EBC=∠ABE=∠ABC， ∵∠ABC=2∠C， ∴∠ABE=∠EBC=∠C， ∴BE=EC，∴①正确； ∵∠ABE=∠ACB，∠BAC=∠EAB ∴△ABE∽△ACB， ∴=， ∴AB2=AE×AC， 在Rt△AFB与Rt△AFE中，由勾股定理得：AF2=AB2﹣BF2=AE2﹣EF2， 把 AB2=AE×AC代入入上式得： AE×AC﹣BF2=AE2﹣EF2， 则BF2=AC×AE﹣AE2+EF2=AE×（AC﹣AE）+EF2=AE×EC+EF2=AE×BE+EF2， 即（BE﹣EF）2=AE×BE+EF2， ∴BE2﹣2BE×EF+EF2=AE×BE+EF2， ∴BE2﹣2BE×EF=AE×BE， ∴BE﹣2EF=AE， BE﹣EF=AE+EF， 即BF=AE+EF，∴②正确； 延长AB到N′，使BN=BM，连接MN′，则△BMN′为等腰三角形， ∴∠BN′M=∠BMN′， △BN′M的一个外角∠ABC=∠BN′M+∠BM′N=2∠BN′M， 则∠BN′M=∠ACB， 14
在△AMC与△AMN′中 ， ∴△AMC≌△AMN′（AAS）， ∴AN′=AC=AB+BN′=AB+BM， 又∵AL⊥BE， ∴∠AFB=∠LFB=90°， 在△AFB与△LFB中， ， ∴△AFB≌△BLF（ASA）， ∴AB=BL， 则AN′=AC=AB+BN′=AB+BM=BM+BL，即AC=BM+BL，∴③正确； 设∠LAC=x°，∠LAM=y°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM=∠MAC=（x+y）°． ∵△AFB≌△BLF， ∴∠BAF=∠BLF， ∵∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°， ∴x°+y°+y°=∠C+x°， ∴∠C=2y°， ∵∠ABC=2∠C， ∴∠ABC=4y°， 即∠MAL=∠ABC， ∴④正确． 故选C． 15