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dy1?x2d2y?2x(1?y2)2?2y(1?x2令dx?1?y2?0，得x??1，且可知)2 dx2?(1?y2)3； 当x?1时，可解得y?1，y\??1?0，函数取得极大值y?1； 当x??1时，可解得y?0，y\?2?0，函数取得极小值y?0． 17．（本题满分10分）
设平面区域D??(x,y)|1?x2?y2?4,x?0.y?0?．计算??xsin(?x2?y2)dxdy Dx?y【详解】由对称性可得
??xsin(?x2?y2)dxd?ysin(?x2?y2)?Dx?y??dxd1(x?y)sin(x2?y2)Dx?y?2??dxdyDx?y22?
?122??sin(?x?y)dxd?1D12?20d??31rsin?rdr??418．（本题满分10分）
函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(excosy)满足?2设z?2zx2x?x2??y2?(4z?ecoys)e．f(0)?0,f'(0)?0，求f(u)的表达式．
【详解】
设u?excosy，则z?f(u)?f(excosy)，
?z?f'(u)excosy,?2z?x?x2?f\(u)e2xcos2y?f'(u)excosy; ?z?y??f'(u)exsiny,?2z2x2x?y2?f\(u)esiny?f'(u)ecosy； ?2z?2?z2x?y2?f\(u)e?f\(excosy)e2x?x2 由条件?2z?2zx?x??y4z?ecosy)e2x22?(，
可知
f\(u)?4f(u)?u
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
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f(u)?C1e2u?C2e?2u其中C1,C2为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为y*??1u． 4故非齐次方程通解为f(u)?C1e2u1?C2e?2u?u．
411,C2??． 1616将初始条件f(0)?0,f'(0)?0代入，可得C1?所以f(u)的表达式为f(u)?19．（本题满分10分）
12u1?2u1e?e?u． 16164设函数f(x),g(x)在区间?a.b?上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明： （1） 0?（2）
?bxag(t)dt?x?a,x??a,b?；
f(x)dx??f(x)g(x)dx．
ab?a??ag(t)dta【详解】
（1）证明：因为0?g(x)?1，所以即0??xa0dx??g(t)dt??1dtx??a,b?．
aaxx?xag(t)dt?x?a,x??a,b?．
（2）令F(x)??xaf(u)g(u)du??a??ag(t)dtxaf(u)du，
?则可知F(a)?0，且F'(x)?f(x)g(x)?g(x)f??a?因为0??xag(t)dt??，
??xag(t)dt?x?a,且f(x)单调增加，
x?所以f?a??g(t)dt???f(a?x?a)?f(x)．从而
a??xF'(x)?f(x)g(x)?g(x)f?a?g(t)dt????f(x)g(x)?g(x)f(x)?0， x??a,b? ?a??也是F(x)在?a,b?单调增加，则F(b)?F(a)?0，即得到
?20．（本题满分11分） 设函数f(x)?a??ag(t)dtbaf(x)dx??f(x)g(x)dx．
abx,x??0,1?，定义函数列 1?x Page 7 of 11
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f1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，?,fn(x)?f(fn?1(x)),?
设Sn是曲线y?fn(x)，直线x?1,y?0所围图形的面积．求极限limnSn．
n??【详解】
xf1(x)xxx,?， ，f3(x)?f1(x)?,f2(x)??1?x?x1?3x1?x1?f1(x)1?2x1?1?x利用数学归纳法可得fn(x)?x.
1?nxSn??fn(x)dx??01x1111ln(1?n)dx??(1?)dx?(1?)，
01?nx0n1?nxnn11?n)??ln(limnSn?lim?1???1． n??n??n??21．（本题满分11分） 已知函数f(x,y)满足
?f?2(y?1)，且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny，求曲线f(x,y)?0所成的?y图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积． 【详解】
由于函数f(x,y)满足
?f?2(y?1)，所以f(x,y)?y2?2y?C(x)，其中C(x)为待定的连续函数． ?y2又因为f(y,y)?(y?1)?(2?y)lny，从而可知C(y)?1?(2?y)lny，
得到f(x,y)?y?2y?C(x)?y?2y?1?(2?x)lnx．
2令f(x,y)?0，可得(y?1)?(2?x)lnx．且当y??1时，x1?1,x2?2．
22曲线f(x,y)?0所成的图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积为
5V???(y?1)dx???(2?x)lnxdx?(2ln2?)?
11422222．（本题满分11分）
?1?23?4???设A??01?11?，E为三阶单位矩阵．
?1203??? Page 8 of 11
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（1） 求方程组AX?0的一个基础解系； （2） 求满足AB?E的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：
?1?23?4??1A???23?4??1?23?4??100?01?11?????01?11?????01?11?????010??1203????04?31????001?3????001得到方程组AX?0同解方程组
??x1??x4?x?2?2x4 ?x3?3x4???1??得到AX?0的一个基础解系??2?1???3?．
??1?????x1y1z1?（2）显然B矩阵是一个4?3矩阵，设B??x2y?2z?2??xy?33z 3??x4y4z?4??对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下：
?1?23?4100??1?3?4100?(AE)???01?11010????2?01?11010????1203001????04?31?101???1?23?00??100126?1?
??41?01?11010?????010?2?1?31????001?3?1?41????001?3?1?41??由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
??x1??2???1??y1??6???1??z1???1???1??x???????2???1??c?2??y?????????????2???3?2，?z2??1??2?x???1??1????3?，?y????4??c2?3??z???1??c3?3?， ?3???x4????0????1???3??????3????????y4????0????1????z4????0????1??即满足AB?E的所有矩阵为
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1??2??，
?3?? 天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn
?2?c1???1?2c1B???1?3c1??c1?其中c1,c2,c3为任意常数． 23．（本题满分11分）
6?c2?3?2c2?4?3c2c2?1?c3??1?2c3? ?1?3c3?c3???1??1证明n阶矩阵????1?1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似． ????????????1?1??0?0n??1?1??1?1?，B?????1?1???0?01???0?02??． ????????0?0n????1??1【详解】证明：设A? ????1?分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
??1?1?E?A???1?1??1??1??1?(??n)?n?1，
???1???1所以A的n个特征值为?1?n,?2??3???n?0；
????而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且A~??????0?；
???0??0??10???2?E?B??(??n)?n?1
???00???n所以B的n个特征值也为?1?n,?2??3???n?0；
?
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对于n?1重特征值??0，由于矩阵(0E?B)??B的秩显然为1，所以矩阵B对应n?1重特征值??0的特征向量应该有n?1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对
????角化，且B~??????0?
???0??1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似． ????????????1?1??0?0n???1??1从而可知n阶矩阵????1? Page 11 of 11