2018年8月4日初中数学试卷
一、综合题（共9题；共135分）
1.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式； （2）求△ABC的面积；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
2.（2017?乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E． ①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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3.（2017?赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 ？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
4.（2017?广元）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；
E为直线AC上任意一点，（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
5.（2017?巴中）如图，已知两直线l1 ， l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0， ）时，恰好有l1⊥l2 ， 经过点A，B，C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．
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（1）求抛物线的函数解析式；
（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 7.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标；
（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
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8.（2017?临沂）如图，抛物线y=ax+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
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（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案解析部分
一、综合题
1.【答案】（1）解：设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k， ∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4）， ∴y=a（x+2）2﹣4，
又∵函数图象经过点A（﹣6，0）， ∴0=a（﹣6+2）2﹣4 解得a= ，
∴此函数的解析式为y= （x+2）2﹣4，即y= x2+x﹣3；
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（2）解：∵点C是函数y= x+x﹣3的图象与y轴的交点，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
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又当y=0时，有y= x+x﹣3=0，
解得x1=﹣6，x2=2， ∴点B的坐标是（2，0），
则S△ABC= |AB|?|OC|= ×8×3=12；
（3）解：假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．
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设E（x，0），则P（x， x+x﹣3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），
∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3， ∴点F的坐标为F（x，﹣ x﹣3），
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则|PF|=﹣ x﹣3﹣（ x+x﹣3）=﹣ x﹣ x，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
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