= |PF|?|AE|+ |PF|?|OE|
= |PF|?|OA|= （﹣ x2﹣ x）×6=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+3）2+ ， ∴当x=﹣3时，S△APC有最大值 ， 此时点P的坐标是P（﹣3，﹣ ）． 【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．
2.【答案】（1）解：∵点B（4，m）在直线y=x+1上， ∴m=4+1=5， ∴B（4，5），
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5
2
（2）解：①设P（x，﹣x+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0）， 22
则PE=|﹣x+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x+3x+4|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，
2
当﹣x+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（2，9）；
2
当﹣x+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（6，﹣7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；
②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），
∴BE= = |x﹣4|，CE= = ，BC= =
，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，
当BE=CE时，则 |x﹣4|= ，解得x= ，此时P点坐标为（ ，
）；
当BE=BC时，则 |x﹣4|= ，解得x=4+ 或x=4﹣ ，此时P点坐标为（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）；
当CE=BC时，则 = ，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ ， 或（0，5）
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）或（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）
【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题
【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标． 3.【答案】（1）解：∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4， ∵点B（3，0）在该抛物线的图象上， ∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3， ∵点D在y轴上，令x=0可得y=3， ∴D点坐标为（0，3）， ∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1， ∴直线BD解析式为y=﹣x+3
2
（2）解：设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m+2m+3），
∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ， ∴当m= 时，PM有最大值
（3）解：如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
2
设Q（x，﹣x+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|， ∵△BOD是等腰直角三角形， ∴∠DBO=45°， ∴∠HGQ=∠BGE=45°，
当△BDQ中BD边上的高为2 时，即QH=HG=2 ， ∴QG= ×2 =4， ∴|﹣x2+3x|=4，
2
当﹣x+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根， 2
当﹣x+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）
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【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题
【解析】【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标． 4.【答案】（1）解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得
，
解得 ，
抛物线的解析式为y=﹣x﹣2x+3
2
（2）解：配方，得y=﹣（x+1）+4，顶点D的坐标为（﹣1，4）
2
作B点关于直线x=1的对称点B′，如图1
，
则B′（4，3），由（1）得D（﹣1，4）， 可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣ x+ ， 当M（1，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小， 则m=﹣ ×1+ = ．
（3）解：作PE⊥x轴交AC于E点，如图2
，
AC的解析式为y=x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，m+3）， PE=﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）=﹣m2﹣3m
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S△APC= PE?|xA|= （﹣m2﹣3m）×3=﹣ （m+ ）2+ ， 当m=﹣ 时，△APC的面积的最大值是 （4）解：由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2） 点E在直线AC上，设E（x，x+3），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3）， ∵EF=DN
∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2， 解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去）， 则点E的坐标为：（﹣2，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3）， ∵EF=DN，
∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2， 解得x=
或x= ，
即点E的坐标为：（
， ）或（ ， ）
综上可得满足条件的点E为E（﹣2，1）或：（
， ）或（ ， ）
【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案.
（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B′D，B′D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值.
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.
（4）设出点E的坐标，分情况讨论；①当点E再线段AC上时，点F在点E上方；②当点E再线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标. 5.【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c． ∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0， ）在抛物线上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的函数解析式为y=﹣ x2﹣ x+
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（2）解：DG=DE．理由如下：
设直线l1的解析式为y=k1x+b1 ， 将A（1，0），C（0， ）代入，解得y=﹣ x+ ；
设直线l2的解析式为y=k2x+b2 ， 将B（﹣3，0），C（0， ）代入，解得y= x+ ；
∵抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1， 又∵点G、D、E均在对称轴上，
∴G（﹣1，2 ），D（﹣1， ），E（﹣1， ），
∴DG=2 ﹣ = ，DE= ﹣ = ，
∴DG=DE；
（3）解：若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况： ①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（﹣2，
）；
②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3 ， 点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合；
③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5 ， 点M4与点D重合，点D的坐标为（﹣1， ），M5与
M1重合；
综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2， ），（﹣1， ）．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题
2
【解析】【分析】（1）设抛物线的函数解析式为y=ax+bx+c．分别将A（1，0），B（﹣3，0），C（0， ）三
点坐标代入得到一个三元一次方程组，解之即可得到抛物线解析式.
（2）DG=DE．分别求出过A（1，0），C（0， 3 ）两点的直线l1的解析式为y=﹣ x+ ；过B（﹣3，0），C（0， 3 ）两点的直线l2的解析式为y= x+ ；由二次函数的性质和已知条件求出DG和DE的长度即可.
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况： ①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1（﹣2， ）；②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3 ， ；③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5.
6.【答案】（1）解：依题意得： ，
解之得：
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0）， ∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n， 得
，
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