全程考点训练17 相似三角形
一、选择题
1．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为3∶2，则下列结论正确的是(B)
(第1题)
3
A．∠E＝∠K
23
B．BC＝HI
2
C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长 D．2S六边形ABCDEF＝3S六边形GHIJKL
2．如图，图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于点
O.对于各图中的两个三角形，下列说法正确的是(A)
(第2题)
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似 3．下列关于位似图形的说法：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 其中正确的是(A) A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【解析】 ①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此项错误； ②位似图形一定有位似中心，此项正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形，此项正确；
④位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，故此项错误． 4．下列说法正确的是(C) A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的等边三角形都相似
D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似
5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)
(第5题)
【解析】 提示：三边之比是1∶2∶5.
(第6题)
6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2 2，CD＝2，点P在四边形
ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数是(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ∵AB＝AD＝22，CD＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°， 1122
∴S△ABD＝AB·AD＝4，S△BCD＝CD·AD＝2，BD＝AB＋AD＝4.
22
42
∴△ABD的边BD上的高线长为＝2，△BCD的边BD上的高线长为＝1.
11×4×422
32
33
∵点P到BD的距离为，1<<2，
22
∴点P可能在AB或AD上，但不可能在BC或CD上，故点P的个数为2. 二、填空题
7．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为6 cm.
【解析】 设它们的比例中项是x，则x＝4×9，x＝±6，(线段是正数，负值舍去)，故填6.
2
(第8题)
8．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则＝【解析】 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∵S△ADE＝S四边形BCED，∴
ADAB2． 2S△ADE1AD＝，∴＝S△ABC2AB12
＝. 22
(第9题)
9．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，
S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 __＝__S2(填“＞”“<”或“＝”)．
【解析】 ∵P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)， ∴PA＝AB·PB.
∵S1＝AP，S2＝AB·PB，∴S1＝S2.
10．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，在矩形ABCD中，东边城墙AB长9里，南边城墙
2
2
AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD.若EG＝15里，HG经过点A，
则FH＝__1.05__里．
(第10题)
【解析】 ∵EG⊥AB，FA⊥AB，∴EG∥FA. ∵HG过点A，∴∠EGA＝∠FAH. 又∵FH⊥AD，∴∠GEA＝∠AFH＝90°. ∴△GEA∽△AFH，∴＝. ∵AB＝9，AD＝7，EG＝15，
EGEAFAFHE，F分别为AB，AD的中点，
∴FA＝3.5，EA＝4.5， 154.5∴＝， 3.5FH解得FH＝1.05. 三、解答题
(第11题)
11．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形． (1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB(∠A与∠DPB对应)时，求∠APB的度数． 【解析】 (1)∵△PCD为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，CP＝CD＝PD. ∵△ACP∽△PDB，∴＝，即∴CD＝AC·DB.
∴当CD＝AC·DB时，△ACP∽△PDB. (2)∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠BPD，
∴∠APB＝∠APC＋∠BPD＋∠CPD＝(∠APC＋∠A)＋∠CPD＝∠PCD＋∠CPD＝60°＋60°＝120°.
12．在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P(lx)(x为自然数)．
(1)如图①，∠A＝90°，∠B＝∠C，当BP＝2PA时，P(l1)，P(l2)都是过点P的△ABC的相似线(其中l1⊥BC，l2∥AC)，此外还有1条过点P的△ABC的相似线．
22
ACCPPDDBACCD＝， CDDB
(第12题)
1BP(2)如图②，∠C＝90°，∠B＝30°，当P(lx)截得的三角形面积为△ABC面积的时，求的值．
4ABBP1
【解析】 (2)当l1⊥BC或l2⊥AC时，＝；
AB2
当l3⊥AB且与AC相交时，当l4⊥AB且与BC相交时，13．阅读下面的材料：
小腾遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，
BP3＝； AB4BP3＝. AB4
AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．
①
②
③ (第13题)
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．
(1)∠ACE的度数为75°，AC的长为__3__． (2)参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图③，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE