专题21 导数的综合运用
【母题原题1】【2018新课标1，文21】 已知函数（1）设
是
．
的极值点．求，并求时，
．
的单调区间；
（2）证明：当
当0
时，
．
点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果. 【母题原题2】【2017新课标1，文21】 已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
综上,a的取值范围是[-2,1]. 【母题原题3】【2016新课标1，文21】 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
在(ln(-2a),1)单调递减.
③若a<- ,则ln(-2a)>1,
故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增, 在(1,ln(-2a))单调递减.
(Ⅱ)(ⅰ)设a>0 ,则由(Ⅰ)知,f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.
又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b 则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a所以f(x)有两个零点. >0, (ⅱ)设a=0 ,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点. (ⅲ)设a<0 ,若a≥- ,则由(Ⅰ)知,f(x)在(1,+∞)单调递增. 又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点; 【命题意图】考查导数的概念、导数公式求导法则导数的几何意义及导数的应用，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力． 【命题规律】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 【答题模板】求解应用导数研究函数的性质问题的一般思路： 第一步：牢记求导法则，正确求导.在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域． 第二步：研究（1）（2）问的关系，注意利用第(1)问的结果.在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决． 第三步：根据条件，寻找或构造目标函数，注意分类讨论.高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论． 第四步：选择恰当的方法求解，注意写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚． 【方法总结】 1.导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求f'(x)； (2)确认f'(x)在(a,b)内的符号； (3)作出结论：f'(x)?0时为增函数；f'(x)?0时为减函数． 2.图象法确定函数f(x)在(a,b)内的单调性：导函数的图象在哪个区间位于x轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)． 3.已知函数单调性，求参数范围的两个方法： (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解． 4.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值． 【温馨提醒】导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件．找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如y＝x)，还要保证该零点为变号零点． 6.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【温馨提醒】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得．极值与最值的区别 (1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性． (2)从个数上看，最值若存在，则必定是惟一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)． (3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值． 7. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化： (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用． (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理． 8.关于最值问题： ①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄 3