《概率论与数理统计》作业（七） 班级： 学号： 姓名： 一、填空题 1、设总体
X~b?1,p?,X1,X2,?,Xn是从总体X中抽取的一个样本,则参数
p的矩估计量为
??___________ p解 由于
??X. X~b?1,p?,A1?X,?1?E(X)?p,故由A1??1得参数p的矩估计量为p22??1???3???1?22、设总体X的分布律为
X
12P?
0???1是未知参数,X1,X2,?,Xn是从中抽取的一个样本,则参数?解 由于
2?的矩估计量?,故由A1? . 的矩估计量为
A1?X,?1?E(X)??2?4??1????3?1????3?2???1得参数????3?X. 23、设X~E???,x1,x2,?,xn为X的一组样本观察值,则?解
的最大似然估计为 . nL?x1,x2,?,xn;?????ei?1n??xi??en???xii?1n,lnL?nln????xi,令
i?1dlnLnn???xi?0 d??i?1??n?1. 得?nx?xii?1X~N(?,?2),X1,X2,X3,X4是来自总体X的样本,设0.1X1??X2?0.3X3?0.2X4是?(??0)的无
偏估计,则?? .; 解 ?X1,X2,X3,X4是来自总体X的样本
4、设 ?E?X1??E? ?X?X???E?X2??E34??0.1X1??X2?0.3X3?0.2X4是总体期望?的无偏估计 ?E?0.1X1??X2?0.3X3?0.2X4???
E?0.1X1??X2?0.3X3?0.X2X???E?X?XE?4?0.?E1??0.E3???0.?2 4X123 ?0.1?????0.3??0.2??? ???0.4
25、设总体X~N(?,0.04),根据来自X的容量为16的样本,测得样本均值为x?10.05,则总体均值?的置信水平为
?0.95的置信区间为 . z1.96?0.04?10.0304 解 ?x??/2??10.05?n16z1.96?0.04?10.0696 x??/2??10.05?n16?总体均值?的置信水平为0.95的置信区间为(10.0304,10.0696)
?(??1)x?,0?x?1二、计算题:1、设总体X~f(x)??
0,其他?其中???1,X1,X2,?,Xn是X的一个样本,求?的矩估计量及极大似然估计量.
解 (1) 由于
?1?E(X)??故由
????xf(x)dx??(??1)x??1dx?01??1??1,A1?X?E(X)?, ??2??2A1??1得
1
《概率论与数理统计》作业（七） 班级： 学号： 姓名： ??2X?1 ?1?X??2X?1. 所以?的矩估计量?1?X(2) 似然函数
L(?)??f(xi)?(??1)i?1nn?x?,(0?xii?1ni?1).
取对数
lnL?nln(??1)???lnxii?1n(0?xi?1)
dlnLn???lnxi?0d???1i?1?所以?的极大似然估计量为???1?nnii?1n??1?2、设某种砖头的抗压强度N??,?2?lnx?,今随机抽取20块砖头,测得数据如下(kg.cm):
-2
1. x64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81
(1)求?的置信概率为0.95的置信区间.(2)求?的置信概率为0.95的置信区间.
解
2x?76.6,s?18.14,??1?0.95?0.05,n?20, t?/2(n?1)?t0.025(19)?2.093,??/2(n?1)??(1)
2?20.025(19)?32.852,?20.975(19)?8.907
的置信度为0.95的置信区间
s18.14????x?t(n?1)?76.6??2.093a/2?????(68.11,85.089)
n20????2
(2) ?的置信度为0.95的置信区间
?(n?1)s2(n?1)s2??191922?,??18.14,?18.14?2????(190.33,702.01) 28.907????/2(n?1)?1??/2(n?1)??32.852三、证明题:设X1，X2是从正态总体N??,??中抽取的样本
2?1??211311?2?X1?X2;??3?X1?X2; X1?X2;?334422?1,??2,??3都是?的无偏估计量,并求出每一估计量的方差. 试证?21?2121?1)?E?E(?X?X?E(X)?E(X)?????? 12?12?3?3333?31311?2)?E(X1)?E(X2)?? E(??3)?E(X1)?E(X2E(?)??2244?1,??2,??3均是μ的无偏估计量. 所以?证明
2?1?45?2??2?1)???D(X1)???D(X2)?X??D(?99?3??3?221?3?5?2???2)???D(X1)???D(X2)? D(? 448????1???3)?? D(?D(X)?D(X)???12??2?2?2222
2