解得a?3． ???????????4分 （2）由（1）得，
?1?3 sinx?cosxf(x)?sinx?3cosx?2???2?2???????2?sinxcos?cosxsin? 33??π???2sin?x??． ?????????6分
3??所以函数f?x?的最小正周期为2?． ????????8分 因为函数y?sinx的单调递增区间为?2k??所以当2kπ??????,2k????k?Z?， 22?πππ?x??2kπ??k?Z?时，函数f?x?单调递增， 2325ππ?x?2kπ??k?Z?时，函数f?x?单调递增． 即2kπ?66所以函数f?x?的单调递增区间为?2kπ?19.（Ⅰ）n?1时，a1???5ππ?,2kπ???k?Z?． ???12分 66?12a1?1，a1? 231?S?1?an?11?n2n?2时，?，Sn?Sn?1?(an?1?an)，?an?an?1(n?2)
32?S?1?1an?1n?1??2?an?是以3为首项，3为公比的等比数列，an?3?(3)n?1?2(3)n
????6分
1()n?111（Ⅱ）1?Sn?an?n，bn?log3(1?Sn?1)?log33??(n?1) ???8分
2321211
111 ??bnbn?1n?1n?211111111111 ?????(?)?(?)???(?)??b1b2b2b3bnbn?12334n?1n?22n?2 ????10分
1125??，n?100 ????12分 2n?251????????20.解：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x,y），由BP?2PA得，
3??x?2(x0?x)?x0?x(x,y?y0)?2(x0?x,?y)，即???2，———————————
y?y??2y0???y0?3y—————————2分
x23222又因为x0?y0?9，所以(x)?(3y)?9，化简得：?y?1，这就是点P的轨
2422迹方程。 ——————————————————4分
?????????（Ⅱ）当过点（1,0）的直线为y?0时，OM?ON?(2,0)?(-2,0)??4
当过点（1,0）的直线不为y?0时可设为x?ty?1，A（x1， y1），B（x2，y2）
?x2??y2?122联立?4并化简得：(t?4)y?2ty?3?0，由韦达定理得：
?x?t?y1?y1?y2??2t3yy??，，———————6分 1222t?4t?4?????????OM?ON?x1x2?y1y2?(ty1?1)(ty2?1)?y1y2?(t2?1)y1y2?t(y1?y2)?1所以
?3?2t?4t2?1?4(t2?4)?1717?(t?1)2?t2?1?2???4?t?4t?4t?4t2?4t2?42—10
分
又由??4t2?12(t2?4)?16t2?48?0恒成立，所以t?R，对于上式，当t?0时，
1
max4?????????1ON的最大值为 …………………………………………12分 综上所述OM?4??????????OM?ON??[来源:Zxxk.Com]21. （Ⅰ）解：f(x)?f(1?x)?1x11?x?ln??ln?1 21?x2x 所以f(x)图象关于点(,)中心对称 ??2分 12n?2n?1（Ⅱ） ∵Sn?f()?f()???f()?f() ??①
nnnn1221∴Sn?f(1?)?f(1?)???f()?f() ??②
nnnnn?1(n≥2,n?N*) ??6分 2S1（III）当n?N*时，由（2）知lnSn?2?lnSn?1?lnn?2?ln(1?)，
Sn?1n1122①+②，得2Sn?n?1，∴Sn?于是lnSn?2?lnSn?1?3211111?3等价于ln(1?)?2?3. ?7分 2nnnnn3x3?(x?1)2令g(x)?x?x?ln(1?x)，则g?(x)?，
x?1∴当x?[0,??)时，g?(x)?0，即函数g(x)在[0,??)上单调递增，又g(0)=0.
于是，当x?(0,??)时，恒有g(x)?g(0)?0，即x3?x2?ln(1?x)?0恒成立. 1故当x?(0,??)时，有ln(1?x)?x2?x3成立，取x??(0,??)，
n111则有ln(?1)?2?3成立. ??12分
nnnπ22.解：（Ⅰ）函数y?f?x?在(0,)上的零点的个数为1
2理由如下：
因为f?x??exsinx?cosx，所以f??x??exsinx?excosx?sinx．
π，所以f?(x)?0， 2π所以函数f(x)在(0,)上是单调递增函数
2ππ因为f(0)??1?0，f()?e2?0，
2根据函数零点存在性定理得 因为0?x?π函数y?f?x?在(0,)上的零点的个数为1． ···································································· 3分
2（Ⅱ）因为不等式f(x1)?g(x2)≥m等价于f(x1)≥m?g(x2)，
ππ所以 ?x1?[0,],?x2?[0,]，使得不等式f(x1)?g(x2)≥m成立，等价于
22f(x1)min≥?m?g(x2)?min，即f(x1)min≥m?g(x2)max．
ππ当x?[0,]时，f??x??exsinx?excosx?sinx?0，故f(x)在区间[0,]上单调递增，
22所以x?0时，f?x?取得最小值?1．
又g??x??cosx?xsinx?2ex，由于0≤cosx≤1,xsinx≥0,2ex≥2，
π所以g??x??0，故g?x?在区间[0,]上单调递减，
2因此，x?0时，g?x?取得最大值?2． ?2?1． 所以?1≥m??2，所以m≤-??所以实数m的取值范围是??,?1?2?········································································ 7分 ?．·（Ⅲ）当x??1时，要证f?x??g?x??0，只要证f?x??g?x?， 只要证exsinx?cosx?xcosx?2ex， 只要证exsinx?2??x?1?cosx，
excosx?由于sinx?2?0,x?1?0，只要证 x?1sinx?2excosx?下面证明x??1时，不等式成立． x?1sinx?2???ex?x?1??exxexex令h?x??， ??x??1?，则h??x??22x?1?x?1??x?1?当x???1,0?时，h??x??0，h?x?单调递减； 当x??0,???时，h??x??0，h?x?单调递增．
所以当且仅当x?0时，h?x?取得极小值也就是最小值为1． 令k?cosxsinx?2，其可看作点A?sinx,cosx?与点B?2,0连线的斜率，
??所以直线AB的方程为：y?kx?2，
由于点A在圆x2?y2?1上，所以直线AB与圆x2?y2?1相交或相切， 当直线AB与圆x2?y2?1相切且切点在第二象限时，
直线AB取得斜率k的最大值为1
2?1?h?0?；x?0时，h?x??1≥k 故x?0时，k?2综上所述，当x??1时，f?x??g?x??0成立． ··························································· 12分
??