设平面的一个法向量为，则，令，得，
同理可求平面的一个法向量为，
平面和平面为同一个平面，所以二面角的余弦值为.┅┅┅12分
??a5?a7?22?2a1?10d?2219. 解（1）由题意可知，?，则 ?，
??a2a5?a1a14??a1?d??a1?4d??a1?a1?11d?解得??a1?1，?an?2n?1┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
?d?2?Sn?n2，当n?1,115?2?1?┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分S113（2）
当n?2时，?114441??1?2?2?2?=2???， Snn4n4n?1?2n?1??2n?1??2n?12n?1????11??11?1111???1?????1?2??????????????? S1S2Sn?2n?12n?1????35??57?225??，得证┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 32n?13?1?x220．解（1）?c?2，a?3，?b?1，?椭圆方程为?y2?1，
3准圆方程为x?y?4． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 （2）（ⅰ）因为准圆x?y?4与y轴正半轴的交点为P?0，2?，
2222y?kx?2，设过点P?0，2?且与椭圆相切的直线为y?kx?2，所以由{x23?y2?1，22得1?3kx?12kx?9?0.
??22因为直线y?kx?2与椭圆相切，所以??144k?4?91?3k?0，解得k??1， ┅┅┅┅┅4分
??所以l1，y??x?2．?kl1?kl2??1， ?l1?l2． ┅┅┅┅┅6分 l2方程为y?x?2，（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1： x??3， 当l1： x?3时，与准圆交于点
?3，1，3，?1，
???此时l2为y?1（或y??1），显然直线l1，l2垂直；
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同理可证当l1： x??3时，直线l1，l2垂直┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
22②当l1，l2斜率存在时，设点P?x0,y0?，其中x0?y0?4.
设经过点P?x0，y0?与椭圆相切的直线为y?t?x?x0??y0，所以由{y?t?x?x0??y0， x22?y?1，3得1?3t?2?x2?6t?y0?tx0?x?3?y0?tx0??3?0.
，
2由??0化简整理得
2222t2?2x0y0t?x0?3?0. 因为x0?y0?4，所以有3?x0????设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆相切，
22t2?2x0y0t?x0?3?0， 所以t1，t2满足上述方程3?x0????所以t1?t2??1，即l1，l2垂直． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
综合①②知：因为l1，N，且l1，l2经过点P?x0，l2垂直. y0?，又分别交其准圆于点M，所以线段MN为准圆x2?y2?4的直径， MN＝4，所以线段MN的长为定值． ┅┅┅┅┅12 21.解：（1）?对?x?0，f?x??0恒成立?k?xex，对?x?0恒成立
令g?x??xe，则g'?x???x?1?e，易知：g?x?在???,?1?上递减，在??1,0?上递增.
xx11???g?x?min?g??1???，?k的取值范围是???,??┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
ee??（2）f?x?有两个零点，等价于y?k与y?g?x??xe有两个不同的交点，
x由 （1）知，k???,0?.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
x2x1（3）证明：由（2）知：不妨设x1??1?x2?0，则xe，xe?k?0，即g?x1??g?x2??k ?k?021?1?e??令h?x???x?2?e?x?2?xex，x???1,0?h'?x???x?1??ex?e?x?2??0，即h?x?为增函数
?h?x??h??1??0，即xex???x?2?e?x?2因为x2???1,0?，故g?x2??g??x2?2?
由g?x1??g?x2?，得g?x1??g??x2?2?由（1）知g?x?在???,?1?上递减， 故x1??x2?2，即：x1?x2??2┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
22. 解：（1）把x??cos?，y??sin?代入y?xtan?得tan??tan?，
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所以l极坐标方程是???(??R,π???π)． 2C1的普通方程是x2?y2?2ax?0，其极坐标方程是??2acos?．┅┅┅┅┅5分
（2）C1：??cos?，C2：??2sin?，???分别代入C1，C2得|OM|??cos?，|ON|?2sin?．
22所以2|OM|?|OM||ON|?2cos??2cos?sin??π2sin(?2?)?1．
4π7π???π，当??时，所以2|OM|2?|OM||ON|取最大值2?1……10分 28bb23.解：（1）法一：f(x)?|x?a|?|2x?b|=|x?a|?|x?|?|x?|，
22因为
∵|x?a|?|x?bbbb|?|(x?a)?(x?)|?a?且|x?|?0， 2222∴f(x)?a?bbbb，当x?时取等号，即f(x)的最小值为a?，∴a??1，2a?b?2. 2222???3x?a?b,x??a?bb?法二：∵?a?，∴f(x)?|x?a|?|2x?b|=??x?a?b,?a?x?，
22?b?3x?a?b,x???2显然f(x)在(??,]上单调递减，f(x)在[,??)上单调递增，∴f(x)的最小值为f()?a?b2b2b2b， 2b?1，2a?b?2. ┅┅┅┅┅5分 2a?2b?t恒成立， （2）∵a?2b?tab恒成立，∴
ab∴a?12a2b9a?2b1212112a2b???(?)(2a?b)?(1?4??)?(1?4?2?)? abbaba22ba2ba2当a?b?
2a?2b999时，取得最小值，∴?t，即实数t的最大值为.……10分 3ab222
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