南京大学2005级数学系数学分析（二）期末测试
说明：前四道大题共100分，最后一题为附加题。考试时间共120分钟。未特别标明A、B卷的题目为公用题。 一、叙述题(20分)
1. 设f:?n??m为多元向量值函数，x0??n.叙述f 在x0可微的定义.
(10分)
2. （A卷）叙述正项级数Cauchy判别法（也叫根值判别法）的条件及结论，并举一
个不能用Cauchy判别法判别收敛性的例子.
(10分)
（B卷）叙述正项级数d’Alembert判别法（也叫比值判别法）的条件及结论，并举一个不能用d’Alembert判别法判别收敛性的例子.
(10分)
二、判断题(20分)：判断下列级数的敛散性并说明理由.
??（A卷）1.?cosn
n?1? (5分)
2.?sinn?11n2(5分)
(5分)
3.?n?21n(lnn)2 (5分)
n?(?1)?4.?ln?1??
2nn?1?????2（B卷）1.?sinn
n?1? (5分)
2.?(n?2?2n?1?n)n?1(5分) (5分)
3.?n?21nlnn (5分)
n?(?1)?4.?ln?1??
2nn?1???
三、计算题(20分)
1. 方程x2?2y2?3z3?2xy?z?7在(1,?2,1)附近决定了隐函数z?z(x,y).
求
?z?x?y2(1,?2)的值. (10分)
2. （A卷）求函数f(x,y,z)?x3?y3?z3在约束条件x?y?z?0，x2?y2?z2?12下
的极值.
(10分)
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（B卷）求函数f(x,y,z)?x3?y3?z3在约束条件x?y?z?2，x2?y2?z2?12下的极值.
(10分)
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四、证明题(40分)
??1. （A卷）设级数?n?an收敛.证明：级数?an也收敛.（提示：Abel判别法）(10
n?1n?1分)
??（B卷）设级数?n?an收敛.证明：级数?an也收敛.（提示：Abel判别法）(10分)
n?1n?12. （A卷）
??f??为可微的多元函数，且???j?1??xjnn设??(0,1)为固定的实数，f:?i、
n? ???.证明：??2f(x)?f(y)??x?y,?x,y?? ;
(10分)
ii、 当n?1时，存在唯一的x??，使得f(x)?x. （B卷）
设??(0,1)为固定的实数，f?(f1,f2,?,fn):?证明：
i、
f(x)?f(y)??x?y,?x,y??nn??fn且??i??为可微映射，
?i,j?1??xjn????.??2 ;
?ii、 存在唯一的x??n，使得f(x)?x.
n
anSn? (10分)
3. 设??1，an?0，记Sn??ai?1i，n?1,2,?..证明级数?n?1总是收敛的.
（提示：可利用积分判别的思想.）
n(10分) 上的函数
4. 设A?(aij)为n阶实正定对称方阵，bi(i?1,2,?,n)为实数.考虑?nnijf(x1,x2,?,xn)??ai,j?1xixj??bxii?1i.证明：
(i) (ii)
f 在?n上有唯一的最小值点; f 的最小值为?1nij?a4i,j?1bibj，这里a是A的逆矩阵在ij位置的元素.
ij(10分)
五、附加题(10分)
（A卷）设f:?n??n为可微的一一映射，f的Jacobi矩阵非退化，并且f的逆映射f-1
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连续.证明：f-1也是可微的.
（B卷）设f:?n??为可微的多元函数，且f(0,?,0)?0. 证明：存在任意可微次的多元函数gi:?n??(i?1,2,?,n)，使得
nf(x1,x2,?,xn)??xi?1i?gi(x1,x2,?,xn),?(x1,x2,?,xn)??n.
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