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数学归纳法在高中数学解题中的妙用
作者：孙美玲
来源：《现代职业教育·中职中专》2018年第02期
[摘 要] 数学归纳法是一种非常有用的数学方法，它不但对民族地区高中数学的学习有着很大的帮助，而且在今后大学数学课程中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的媒介，主要从几何、数列、证明不等式、证明整除等几个方面来印证数学归纳法在高中数学中的地位，目的是通过运用数学归纳法来解题，从而培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等能力。 [关 键 词] 高中数学；数学归纳法；问题分析
[中图分类号] G632 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）05-0124-01
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种证明方法，它是以皮亚诺公理自然数公理中的归纳公理为大前提、以证明过程中的（1）（2）为小前提的三段论形式的演绎法。合理地运用数学归纳法解决问题是高中数学教学中不可缺少的一个重要内容。 一、妙用数学归纳法解几何问题
细细体会数学归纳法证明几何问题的关键：由“n=k时命题成立”，到“n=k+1时命题成立”。这句话可理解为由k个几何元素又增加了一个元素到k+1个，要找出增加的元素与原来的k个几何元素彼此间的关系及其引起的几何元素的变化，最终找到f（k+1）与f（k）的关系。
例1：平面上有n条直线，其没有两条平行，也没有三条直线交于一点，求证这n条直线共有pn=■n（n-1）个交点。
证明：（1）易知当n=2，p2=1，命题成立；
（2）假设当n=k（k>2）时，命题成立。即k条直线有pk=■k（k-1）个交点。当n=k+1时，增加了一条直线，由于没有两条直线平行，也没有三条直线相交于一点，所以新增加的直线与原来k条直线各有一个交点，就是比n=k条直线时增加了k个交点，即 pk+1=pk+k（即f（k+1）=f（k）+k）=■k（k-1）+k =■k[（k-1）+2]=■k（k+1）[（k+1）-1] 所以当n=k+1时，命题也成立。