第3章 开关磁阻发电机的方程和数学模型
ω—电机旋转机械角速度，ω=dθ/dt。
图3-1（b）中，当开关管 Tk1、Tk2关断，相电流通过二极管Dk1、Dk2续流，电机绕组处于发电状态，此状态下相绕组的电压方程为：
-Uk?ikRk?Lkdik/dt?ikw?Lk/??
（3-2）
在电压方程中，等式右端第一项为第 k 相回路中的电阻压降；第二项是由相电流变化引起绕组中的磁链变化而感应的电动势，称为变压器电动势；第三项是由转子位置角改变引起绕组中的磁链变化而感应的电动势，称为运动电动势【9】。
3.1.2 磁链方程
SRG各相绕组的磁链是该相绕组的电流与自感、其余各相绕组的电流与互感以及转子位置角的函数。由于 SRG 各相之间的互感相对于自感来说很小，为了便于分析，一般忽略各相之间的互感。因此，第k相绕组的磁链 ψk为：
?k??kik，????Lk?ik，??ik
（3-3）
因为SRG磁路的非线性，每相绕组的电感Lk是相电流ik与转子位置角θ的函数【9】。
3.1.3 机械运动方程
根据力学原理，可以写出SRG在原动机转矩作用下，转子的机械运动方程为：
T1?Te?D??Jd?/dt
（3-4）
式中：
T1—原动机转矩； Te—电机电磁转矩； D—阻尼系数； J—电机的转动惯量。
11
燕山大学本科生毕业设计（论文）
3.1.4 转矩方程
SRG的电磁转矩可以通过其磁场储能或磁共能对转子位置角的偏导数求得，即：
Te(ik,?)??W'm(ik,?)??ik?Const
（3-5）
式中：Wm′(ik,θ)—绕组的磁共能，其表达式如下：
（3-6）
在对SRG性能做定性分析时，假定电机的磁路不饱和，相电感与相电流的大小无关，此时式(3-5)可以简化为：
Te(ik,?)? W'm(ik,?)???(ik,?)dik
0i
1??(ik,?)2??ik?1?Lk2??2?ik
（3-7）
由式(3-1)～式(3-4)以及式(3-7)可以建立SRG的数学模型。
【9】
3.1.5 电动势平衡方程
由电路的基本定理写出电机单相电动势平衡方程式：
?Us?d?dt?iR
（3-8）
其中Us为母线电压，i为瞬时相电流，θ为转子位置角，R为绕组电阻，ψ( i,θ)为磁链，其大小与电流i和转子位置角θ 有关。
式中“＋”为绕组与电源导通期间；“－”为绕组与电源关断后续流期间
【10】
。
3.2 开关磁阻发电机的数学模型
建立SRG的数学模型比较困难，由于电机的磁路饱和、涡流、磁滞效应等因素产生的非线性影响着电机的性能，所以很难进行数学模拟。考虑了非线性的所有因素，虽然可以得到一个准确的数学模型，但计算相当繁琐。因此，在性能分析求解数学模型时应当在实用和理论之间折衷处理。
12
第3章 开关磁阻发电机的方程和数学模型
到目前为止，主要采用四种方法建立SRG的数学模型：理想线性模型、准线性模型、非线性模型和查表法。
（1）理想线性模型 若不计电机磁路饱和的影响，相电感与相电流的 大小无关，且忽略磁通的边缘效应以及所有的损耗，此条件下的电机模型就 是理想线性模型，相电感仅仅是转子位置角的分段线性函数。
这种方法大大简化了电机内部的电磁关系，可以了解电机工作的基本特 性和各参数间的相互关系，并作为深入探讨各种控制方式的依据。但求解的 误差较大，精度较低。
（2）准线性模型 为了避免繁琐的计算，又近似考虑磁路的饱和效应， 可以将实际的非线性磁化曲线进行分段线性化的近似处理，且忽略磁耦合的影响。一般可用两段线性特性来近似一系列非线性磁化曲线，一段为非饱和 段，另一段为饱和段。
这种方法既克服了理想线性模型只能用于定性分析的缺陷，又使问题能 够解析计算，具有一定的精度。但精确性仍然较差，计算误差同样不尽人意。
（3）非线性模型 针对不同的相电流值，计算得到相电感曲线，再 结合傅立叶分解和曲线拟合的方法，将相电感表示为相电流和转子位置角的 函数。
这种方法相对于理想线性模型和准线性模型，精度大大提高，具有精确、 高效、实用的特点，特别适合于仿真研究和实时控制。
（4）查表发 把实测或计算所得的相同相电流、相同位置角间隔的电机磁链特性数据ψ(i,θ)反演为相同磁链、相同位置角间隔的相电流特性数据i(ψ,θ)，以及转矩特性数据Te(i，θ)以表格的形式存入计算机中，然后用查表法来求解电机模型。
这种方法较为直接，也较为精确，既可用于稳态分析，也可用于求解瞬
【11】态问题【9】。
本文采用线性模型。
由于电机内部的电磁关系十分复杂，故难以对开关磁阻电机的运行进行有效的分析。为了简化分析过程，弄清开关磁阻电机内部的基本电磁关系和基本特性，现做如下必要的假设：
13
燕山大学本科生毕业设计（论文）
（1）不计电动机磁路饱和，绕组电感L与绕组电流i无关 （2）极间的磁通边缘效应忽略不计 （3）忽略所有的功率损耗 （4）开关动作瞬时完成
（5）转子的转动角速度ω 是常数
在上述的假设条件下，建立了开关磁阻电机的理想线性模型。
3.2.1 相电感的数学模型
L(θ)Lmaxθ1 θ2θuθ3θ4θaθ5θ图3-2 相电感线性模型
SRG在原动机带动下沿顺时针方向旋转，θ1为转子凸极的前沿与定子磁极的后沿相遇的位置。转子转过θ1后，相电感开始线性上升至θ2，θ2为转子凸极前沿与定子磁极前沿重叠处，这时转子凸极与定子磁极完全叠，相电感变为最大值 Lmax。基于电机综合性能的考虑，其转子极弧βr通常要求大于定子极弧βs，因此在θ2～θ3区域内，转子凸极与定子磁极全部重叠，相电感保持在最大值 Lmax。θu为转子凸极中心与定子磁极轴线对齐的位置，称为对齐位置。θ3为转子凸极后沿与定子磁极后沿相遇的位置，至此，相电感开始线性下降，直到θ4处降为最小值 Lmin，θ4为转子凸极后沿与
14
第3章 开关磁阻发电机的方程和数学模型
定子磁极前沿重合处。在θ4～θ5区域内，转子凸极与定子磁极不相重叠，电感保持最小值 Lmin不变。θa为转子凹槽中心与定子磁极轴线重合的位置，称为不对齐位置。θ5与θ1位置相同，如此周而复始，往复循环。相电
【9】
感随转子位置角的变化关系如图3-2所示【1】。
由图3-2所示理想电感模型，在相电感的一个周期θ1～θ5内，可以将相电感分成四段，则相电感与转子位置角的关系式可以表示为：
?K(???1)?Lmin?LminL(?)??Lmax?K(???3)?Lmax?式中：
Lmin—相电感最小值； Lmax—相电感最大值； βs—定子极弧。
?1????2?2????3?3????4?4????5
（3-9）
K=(Lmax?Lmin)/(θ2?θ1)=(Lmax?Lmin)/βs；
3.2.2 相磁链的数学模型
当开关磁阻电机由恒定直流电源Us供电时，忽略绕组电阻压降iR，则
式（3-8）可简化为：
?Us?d?dt?d?d??d?dt?d?d??
（3-10）
式中＋Us为绕组励磁阶段的外加电压，－Us为主开关管关断后续流阶段所加电压。
根据初始条件ψ0=0。则ψoffmax=ψ，磁链分段线性解析式为：
?Us(???on)???（?）??Us??2?off??on?????
?on????off?off???2?off??on（3-11）
15