热力学·统计物理试题（B卷）
适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期)
1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关. 2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为
dLL??cp-cp???dTT
???v?????T??????v???L??????T???v??v? ?p??p??如果?相是气相，?相是凝聚相，试证明上式可简化为：
dL???cp?cp dT3．(10分) 若将U看作独立变数T, V, n1,… nk的函数，试证明： （1）U??nii?U?U ?V?ni?V（2）ui??U?U ?vi?ni?V
4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为
S??Nk?PslnPs
se?????se???s式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，Ps?,?对粒子的所有量子态求?NZ1s和。
5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是??Ak.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与T
3/22成正比.
6．（20分） 在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为??cp,其中c为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.
附标准答案
1. (10分) 解证：范氏气体?p???a???v?b??RT v2?由式(2.2.7)? ?Ra??U???p??p?=T-p=T (5分) ???2v?bv??v?T??T?Vaa??U???=2?U(T,v)?U0??f(T)
v??v?Tv??U?CV???=f?(T) ；与v无关。 (5分)
??T?V
2．(20分) 证明：显然属于一级相变; L?T(S????S???); 其中S?S?T,p(T)?，
在p～T相平衡曲线上.
??Sdp?dL??S?? ?S????S????T????T?????dT??T???pdT???S?????S??????S??????其中：????????? ?T?T?T????P??P??S??????Sdp???S????dp???????[] (5分) ??????T???pdT???T??P??PdT???又有：CP?T???S????????；L?T(S?S) ??T?P由麦氏关系(2.2.4): ????S???????p?T??V??? （5分） ??T?P上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：
dLL??cp-cp???dTT
???v?????T??????v???L??????T???v??v? (5分) ?p??p?????若?相是气相，?相是凝聚相；V??V????～0；??T??～0；
??p?相按理想气体处理。pV=RT
?
dL???cp?cp (5分) dT3．（10分） 证明：（1） U(T,?V,?n1,??nk)??U(T,V,n1,?nk)
根据欧勒定理，?xi?f?f ，可得
?xii
U??nii?U?U (5分) ?V?ni?V?U?U?U?U?V??ni(?vi)??niui ?ni?V?ni?Vii（2）U??niiui??U?U (5分) ?vi?ni?V4．（20分）证明：出现某状态?s几率为Ps
设S1,S2,……Sk状态对应的能级?s?
设Sk+1 ,Sk+2,……Sw状态对应的能级?s?
类似………………………………
e?????s则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 PS?；
N显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，NPS?e?????S。于是
?e?????S代表
?SK?????S???个粒子在?s?上的K个微处于S状态下的粒子数。例如，对于?s?能级??e?S?S??1?观状态的概率为： P?S???PS??粒子数??P?Sk??e?????s?????S???S?S1??Sk??e?????s???? S??S?S1??类似写出：P?S????P?
………………………………………………等等。 (5分)
于是N个粒子出现某一微观状态的概率。
P??P?S??S?S?SP??Sk??????s???e??S?SS??1??P??Sk??e?????s????? S???S?S1?一微观状态数??1 ，（基于等概率原理） PS?kln? (5分)
S?kln1Sk??SW?????????S???????S?????ee????P?????PS???S???S?SK?1?S?S1??????（5分）
SW?SK?????S????k??elnPS???e?????S??lnPS??????
SK?1?S1?????将NPS?e
?????S带入?S??kN?PSSlnPS (5分)
5．（20分）证明: 在体积V中,ω到ω+ dω的频率范围内准粒子的量子态数为
g(?)d??
4?V21/2pdp?B?d?3h, （5分）
推导上式时,用到关系p??k.这里B为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的
??0.系统的内能为
E??0?m3/2???m??g(?)d??B?0???d????e?1e?1, （5分）
考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率可令
?m.但在低温下?????1,在积分中
?m??.设????x,则有
E??CT5/20
x3/25/2?xdx?Te?1, （5分）
??E?CV????T3/2??T?V其中,C为常数.易得 . （5分）
6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为??cp,其中c为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.
解: 在体积V中,? 到? + d? 的能量范围内电子的量子态数为
g(?)d??
8?V28?V2pdp??d?333hhc. （5分）
???0?1, f?? ???0. ?0, 绝对零度时,费米函数为
N??fg(?)d????08?V0总电子数满足
h3c2?d??31/38?V3?3303hc,
?3N??0???8?V??可求出费米能量
E???fg(?)d???hc. （5分）
?08?V0电子气的内能
h3c?3d??38?V43?0?N?044h3c3.
（5分）
气体的简并压
pd?EN??03V4V. （5分）