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其中正确命题的序号为__________． 2π?2
x＋＝－sinx是奇函数． 解析：①y＝cos??32?3
②因为sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx＋cosx＝2成立． ππ13ππ32π＋?＝tan＝，tanα>tanβ，∴③不成立．③α＝，β＝，则tanα＝3，tanβ＝tan? 6??36635π?π
④把x＝代入函数y＝sin2x＋??4?，得y＝－1. 8π
∴x＝是函数图象的一条对称轴．
8
π?π，0?不在图象上，2x＋?图象的对称中心在图象上，⑤因为y＝sin?而所以⑤不成立． 3???12?答案：①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 2
17．(10分)已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝，判断这个三角形形状．
32
解：∵sinα＋cosα＝，
34
∴1＋2sinαcosα＝，
95
∴2sinαcosα＝－<0，
9又0<α<π，∴sinα>0，cosα<0， 即α为钝角，
∴此三角形为钝角三角形．
sin?π－α?＋5cos?2π－α?
18．(12分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
3π??2sin?2－α?－sin?－α?解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)， ∴sinα＝－2cosα， 可知cosα≠0， sinα＋5cosα
∴原式＝ －2cosα＋sinα＝
－2cosα＋5cosα3cosα
＝ －2cosα－2cosα－4cosα
3＝－. 4
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π3
2x＋?＋，x∈R. 19．(12分)已知f(x)＝sin?6?2?(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间；
(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到？ 2π
解：(1)T＝＝π.
2
ππ3π
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
262π2π
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
63
π2π
kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 所以所求的单调减区间为?63??
π3
(3)把y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位，再向上平移个单位，即得函数f(x)
122π3
2x＋?＋的图象． ＝sin?6?2?
π
，0?，图象与P点最20．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P??12?π?
近的一个最高点坐标为??3，5?.
(1)求函数解析式；
(2)求函数的最大值，并写出相应的x的值； (3)求使y≤0时，x的取值范围． Tπππ
解：(1)由题意知＝－＝，∴T＝π.
43124
2πππ
∴ω＝＝2，由ω·＋φ＝0，得φ＝－，又A＝5，
T126π
2x－?. ∴y＝5sin?6??
πππ
(2)函数的最大值为5，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)．∴x＝kπ＋(k∈Z)．
623π
2x－?≤0， (3)∵5sin?6??π
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)．
65ππ
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
1212
π?3
－α＝2cos?π＋β?， 21．(12分)已知cos??2??2?3π?π
－α＝－2sin?＋β?，且0<α<π， 3sin??2??2?
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0<β<π，求α，β的值．
π?3
－α＝2cos?π＋β?，即sinα＝2sinβ① 解：cos??2??2?3π
π－α?＝－2sin?＋β?，即3cosα＝2cosβ② 3sin??2??2?①2＋②2得 2＝sin2α＋3cos2α. 又sin2α＋cos2α＝1， 12
∴cos2α＝.∴cosα＝±.
22π3
又∵α∈(0，π)，∴α＝或α＝π.
44
π233
(1)当α＝时，cosα＝，cosβ＝cosα＝，
4222π
又β∈(0，π)，∴β＝. 63π2
(2)当α＝时，cosα＝－，
42cosβ＝
33cosα＝－，
22
5π
又β∈(0，π)，∴β＝. 6
ππ3π5π
综上，α＝，β＝或α＝，β＝. 4646
ππ
－，?. 22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，3]，其中θ∈??22?π
(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；
6
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数(增函数或减函数称为单调函数)．
π
解：(1)当θ＝－时，
6
2343
f(x)＝x2－x－1＝?x－?2－.
33?3?∵x∈[－1，3]， ∴当x＝
34时，f(x)的最小值为－， 33
23当x＝－1时，f(x)的最大值为. 3
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数．它的图象的对称轴为x＝－tanθ.
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∵y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数．
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥3，即tanθ≥1或tanθ≤－3， ππ－，?， ∵θ∈??22?ππππ
－，－?∪?，?. ∴θ的取值范围是?3??42??2
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