高中数学能力训练——不等式
高中数学能力训练——不等式
1. 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时
f(m)?f(n)＞0 m?n(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f(x+
11)＜f()； 2x?1(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围
2 设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M?［1，4］，求实数a的取值范围
3. 解关于x的不等式
a(x?1)＞1(a≠1) x?2
4. 设函数f(x)=ax满足条件 当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1]时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－
x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围
5. 已知a?0且a?1，求关于x的不等式loga(x?，关于x的不等式ax?1的解集是(??，0）解集。
1)?0的x(a?1)x2?1?x(a?0)。 6. 解关于x的不等式ax?1
，a?b?c?1。7.已知a?b?c，a?b?c?1
求证：（1）1?a?b?
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2224822；（2）?a?b?1。 39 高中数学能力训练——不等式
8.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假若定价上涨x成（注：x成即卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。
（1） 若y?ax，其中a是满足（2） 若y?
9.已知函数f(x)在R上是增函数，a，b?R。
（1） 求证：如果a?b?0，那么f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)； （2） 判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论； （3） 解不等式f(lg
10.奇函数f(x)的定义域为R，且在[0，??)上是增函数，当0???x，0?x?10)，每月101?a?1的常数，用a来表示当售货金额最大时的x值； 32x ，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围。 31?x1?x)?f(2)?f(lg)?f(?2)。 1?x1?x?2时，是否存在实数m，使
f(cos2??3)?f(4m?2mcos?)?f(0)对所有的??[0，]均成立？若存在，求出适合条件的所有实
2数m；若不存在，说明理由。
11. 设数列?an?满足a1?2,an?1?an? （Ⅰ） 证明：an?（Ⅱ）令bn?
212. 设f(x)?3ax?2bx?c,使a?b?c?0,f(0)?0,f(1)?0，求证：
?1(n?1,2,3,?) an2n?1对一切正整数n成立；
ann(n?1,2,3,?)判断bn与bn?1的大小，并说明理由.
(Ⅰ)a＞0且-2＜
a＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. b2
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13. 已知函数f(x)?x?sinx,数列{an}满足:
0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,.
证明:（Ⅰ）0?a1;(Ⅱ)a13n?1?an?n?1?6an.
14. 已知函数f(x)?x?2x,数列?an?满足:a1?1,an?1?f(an),(n?1,2,3,?)(1)证明:数列?an?2??1 是单调递减数列. 2）证明：a1?2?a2?2???an?2?22.
若关于x的不等式|ax?2|?6的解集是(?1,2)，求不等式xax?2?1的解集
设x1,x2,x3,?,xn都是正实数,求证:
x22221?x2???xn?1xxx?n?x1?x2???xn. 23xnx1
17、设a?0,a?1，解关于x的不等式 log2a(ax)?logax?2
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（15.
16. 高中数学能力训练——不等式
18.过点P(2,1)作直线l交x,y正半轴于A,B两点. (1)若PA?PB取到最小值,求直线l的方程 (2)若?OAB的面积取到最小值,求直线l的方程
19.设函数f(x)?lgx,正实数a,b满足f(a)?f(b)?2f(a?b2)，且a?b （1）求证：(1?a)(b?1)?0; （2）求证：2?4b?b2?3
20.已知函数f(x)?x?3x?1,数列?an?满足:a1?1,an?1?f(an),(n?1,2,3,?) (1)设bn?an?3证明:bn?1?bn （2）证明：b1?b2???bn?3?1
21. （1）设a>0，b>0且a?b，试比较aabb与abba的大小。
（2）已知函数f?x??x2?ax?b，p?q?1，试比较pf?x??qf?y?与f?px?qy?的大小．
22. 已知实数a,b,c满足条件：a?2?bm?1?cm?0，其中m是正数，对于f(x)=ax2m+bx+c (1)如果a?0，证明：a?f??m??m?1???0 (2)如果a?0，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。
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23. 已知函数f(x)(x?R)满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有
λ(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]和f(x1)?f(x2)?x1?x2，其中λ是大于0的常数. 设实数a0，a，b满足 f(a0)?0和b?a?λf(a) (Ⅰ)证明λ?1，并且不存在b0?a0，使得f(b0)?0； (Ⅱ)证明(b?a0)2?(1?λ2)(a?a0)2； (Ⅲ)证明[f(b)]2?(1?λ2)[f(a)]2.
24. 己知a?0,函数f(x)?ax?bx， （1）当b2?0时，若对任意x?R都有f?x??1,证明：a?2b;
时，证明：对任意x?[0,1]，|f(x)|?1的充要条件是b?1?a?2b； （2）当b?1时，（3）当0?b?1讨论：对任意x?[0,1]，|f(x)|?1的充要条件。
25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
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