高中数学能力训练——不等式
?22?2n?2?2n?1
又n?1时，an?2n?1成立，故an?2n?1
?bn?1an?1n1?n????1?2?（Ⅱ）解法一：
?bnann?1?an?n?11?n2(n?1)n? ??1????2n?1?n?1(2n?1)n?111(n?)2?24?1
1n?2?2n(n?1)?2n?1故bn?1?bn. 解法二：bn?1?bn2222?an2an?1an1?12?an?????2?? 2??n?1nn?1?nan?2an?1?112n?1?1?11??2???1???2?????????0 2??n?1?n?n?1?2n?1n?n?1?2n?1n?an故bn?1?bn.因此bn?1?bn.
12. 解析：(Ⅰ)因为f(0)?0,f(1)?0,所以c?0,3a?2b?c?0.
又a?b?c?0,消去b,得a?c?0, 由a?b?c?0消去c,得a?b?0,2a?b?0 所以?2?22b??1. a2?b3ac?b2?(Ⅱ)抛物线f(x)?3ax?2bx?c的顶点坐标为???3a,3a??
??又?2?b1??1.两边乘以?得
3a1b2???,又f(0)?0,f(1)?0 33a3ba2?c2?ac?0, 而f(?)??3a3a所以方程f(x)?0在区间(0,?
bb)与(?,1)内分别有一实根,即方程f(x)?0在(0,1)有两个
3a3a11
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实根
13. 解析：（Ⅰ）先用数学归纳法证明0?an?1,n?1,2,3,?. ①当n?1时,由以知,结论成立.
②假设当n?k时,结论成立,即0?ak?1.
因为0?x?1时.f'(x)?1?cosx?0,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,从而f(0)?f(ak)?f(1) 即0?ak?1?1?sin1?1 故当n?k?1时,结论成立.
由①②可知0?an?1对一切正整数都成立.
又因为0?an?1时,an?1?an?an?sinan?an??sinan?0 所以an?1?an.
综上所述0?an?1?an?1. (Ⅱ)设函数g(x)?sinx?x?13x,0?x?1. 6由（Ⅰ）知当0?an?1时,sinx?x.
x2x2x2x22x??2sin???2()??0. 从而g'(x)?cosx?1?22222所以g(x)在(0,1)上是增函数,又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)?0.
所以当0?x?1时,g(x)?0成立,所以g(an)?0,
即sinan?an?1313an?0,故an?1?an. 66
14. 解析：本题以函数、数列为载体，考查不等式证明的基本方法，在证明的过程中，要对所证的不等式适当变形、合理放缩.
(1)证明:由题意得an?1?2?f(an)?2?an?2?2 an?1 12
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?an?2?2an?2a?(2?1)a?an?2(?an?0)
n?1n?1?(2?1)an?2?an?2
?an?1?2?an?2
所以数列?an?2?是单调递减数列 （2）证明：由(1)的证明过程可知，
an?2?(2?1)an?1?2?(2?1)2an?2?2???(2?1)n?1a1?2?(2?1)na1?2?a2?2???an?2?(2?1)?(2?1)2???(2?1)n
?(2?1)[1?(2?1)n]?11?(2?1)?22?2[1?(2?1)n]?2?1?22?22 故a21?2?a2?2???an?2?2.
15.解：由不等式|ax?2|?6的解集是(?1,2)得
?1,2是方程ax?2?6的两个根，故?a?2?|2a?2|
又a?0所以a?2?2a?2 a??4
不等式xax?2?1即x?4x?2?1
5x?2?4x?2?0?x?25或x?1
2
所以不等式
xax?2?1的解集是(??,25)?(12,??).
16、证明：因为x1,x2,x3,?,xn都是正实数，
x22221xxxx?x2?2x1,2?x3?2x12,?,n??xn?2xn?1,n?x1?2x1 2x3xnx1上述各式相加，得：
所以
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2222(x1x?x2???xn?1?xn)?(x1?x2???xn?1?xn)?2(x1?x2???xn) 2x3xnx12222?x1x?x2???xn?1xx?n?x1?x2???xn.
2x3nx1
17、解：设logxa?t则原不等式化为
1?2t?t?2
①当t??12时，?1?2t?t?2,t??3所以?3?t??12 ②当?12?t?0时，1?2t?t?2,t?113,所以?2?t?0
③当t?0时，1?2t?t?2,t?1所以0?t?1 综上所述：?3?t?1
即 ?3?logxa?1 ⑴当a?1时，由?3?logx1a?1得
a3?x?a, （2）当0?a?1时，由?3?logx1a?1得a?x?a3. 所以，当a?1时，原不等式的解集是??x|1?a3?x?a??? 当a?1时，原不等式的解集是???x|a?x?1?a3??
18、解：设直线l的方程为：y?1?k(x?2)则A(2?1k,0),B(0,1?2k)，(k?0) （1）S?OAB?12OAOB?122?1k1?2k ?124?(?4k)?(?1k)?112[4?(?4k)?(?k)]?4 当且仅当?4k??1k,且k?0时，即k??12时取等号. 此时，直线l的方程是：y??12x?2,(x?2y?4?0)
（2）
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PA?(1)2?1,PB?4?4k2k
PA?PB???1??k2??8?4(k21?k2?1???4?4?k2)?4
当且仅当k2?1k2且k?0时，即k??1时取等号. 此时，直线l的方程是：x?y?3?0.
19、证明：（1）由f(a)?f(b)得lga?lgb
?0?a?b,?lga?lgb，lga??lgb，得ab?1
?0?a?b，所以(1?a)(b?1)?0
（2）由f(b)?2f(a?b2)得lgb?2lga?b2 ?a?b2?ab?1,?lga?b2?0?lgb?lga?ba?b22，得b?(2)， 所以4b?b2?a2?2ab?a2?2，又0?a?1?0?a2?1
?2?4b?b2?3
20、证明：（1）因为f(x)?x?3x?1,数列?an?满足:a1?1,an?1?f(an),(n?1,2,3,?) 所以ban?3n?1?an?1?3?a?1?3?(3?1)(an?3)a?1 nn=
3?1a?1an?3?(3?1)an?3?an?3?bn（?an?0)
n所以 ：bn?1?bn （2）由（1）得
bn?an?3?(3?1)bn?1?(3?1)bn?2???(3?1)n
所以b1?b2???bn?(3?1)?(3?1)2???(3?1)n
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