注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__偶数.doc
4解：矩估计：
?1?0???1???2??1??????2?2???，
?2??2?2???????2????1????2?????1?????,
A1?1,
222B2?34,
??1,2?2??????故????2?2??????2??1???2??????2??2?????????23 ??1?????.4???????解得???????1438,为所求矩估计。
.极大似然估计：
L??,???P?X1?X4?X5?0,X2?X6?X8?2,X3?X7?1????32?1?????，
3l??,???lnL??,???3ln??2ln??3ln?1?????，
??l??,??33???0,??3???,????1???????8解得即为所求。 ?l?,???23??1???0.??.??????1???????46解：(1)EX????1?10x???1?xdx????1??2，
由
2X?1?X得???为?的矩估计量。 ?1?X??2nnn??????1??xi,L??,????f?xi,????i?1i?1?0,?0?x?1,其他。
?nl??,???lnL??,????nln???1????lnxi,0?x?1,?i?1
??0,其他。????nn?1令
?l??????nn??1??lnxi?0得
?lnxi，
i?1i?1所以?的极大似然估计为?nn?1。
?lnxii?1?(2)EX??1??0xf?x,??dx?e2，令e2?X得???2lnX为?的矩估计量。
n?2ni?1L??,????f?x1??lnxi2?i,???i?1ne??n2???2?xi?1inn??lnx2i?l??,???lnL??,????ni?1
2ln?2?????lnxi?i?12?nn令
?l?????lnx2i?????n2??i?12?2?0得???1n??lnxi?2为?的极大似然估计。
i?1(3)EX??20xf?x,??dx?2???1，
令2?????1?X得???X2?X为?的矩估计量。 n?n?n?nL?????f?x??2?x??1i,0?x?2,i,????i?1
i?1??0,其他。?nl????lnL?????nln??n?ln2?0?x?2,????1??lnxi,i?1
??0,其他。令
?l???nln2??lnxn???n??ni?0得，???n为?的极大似然估计。i?1nln2??lnxii?1，
(4)EX?n??100xf?x,??dx?100??2，令
100???2?X得???2X?100为?的矩估计量。
L?????f?xi,???i?11?100???n，因0???100，要使L???最大，则?应取最大。
?又?不能大于min?x1,?,xn?，故?的极大似然估计为??min?X1,?,Xn?
(5)EX?????xf?x,??dx?0，故X?0。
2varX?EX?2?2，
由2???2n1??Xni?1ni?X?2?1n2i?X和?ni?1?0得
????i?1Xi22n为?的矩估计量。
n??Xi?n?i?1?1L?????f?xi,????nne?,i?1??20,?????x??, 其他。则
1???nln2?nln??l????lnL???????0,?nn?i?1xi,???x??,其他。
令
?l???????n??i?1xi2??n1?0得???n????2n?i?1nxi为?的极大似然估计。
1n8(1)??X，E1??Xni?11i?E?Xni?1i????2??EXni?12i?2?EXi??2???2
nn?n?12?2(2)E?k??Xi?1?Xi???k?E?Xi?1?Xi??k??EXi?12?2EXi?1EXi?EXi2??2?n?1?k?i?1i?1?i?1?2
k?12?n?1?即为所求。
则
10(1)依题，Xi，Yj与Zl相互独立，ET?aES12?bES22?cES32??a?b?c??2
故T是?2的无偏估计的充要条件为a?b?c?1 (2)记n个样本的方差为S，则
2?n?1?S2?2??232?n?1?，D?S42??n?1
2?4故D?S12??2?4，D?S22???4，D?S32??221222223?
?2b2c2?故DT?aDS?bDS?cDS??a???2?4
23??要使T为最有效估计，只须使a?2b22?c23在a?b?c?1的条件下取最小值即可。
令
L?a?2b22?c23???a?b?c?1?
??L1???a?2a???0,a?,??6???L?b???0,1??由??b得?b?,即为所求。
3???L2c????0,1??c?.3???c2???a?b?c?1.?2x,?f?x,?????2?0,?0?x??,其他。2?312，??0，
EX?????xf?x,??dx?故???X为?的矩估计量，且为无偏估计。 320?x??,其他。nn?2n?x,?L?????f?xi,?????2ni?1ii?1?0,?
显然L???关于?单调递减。故?取最小值时L???最大。
又?不小于max?X1,?,Xn?，故??2?X?n??max?X1,?,Xn?为?的极大似然估计。
?2n2n?1,?2nx?x,??????0,?0?x??,其他。又fX??n，
故EX?n????02n?2nxdx?2n2n?12n2n2n?1?
即E??2?EX?n??n?故??2为?的有偏估计。
n14(1)L?????f?xi,???ei?1n???Xi???i?1，
l(?)?lnL??????Xi?n?i?1，
l(?)为?的单调递增函数，故?取最大值时l(?)取最大值。
?1?X?1??min?X1,?,Xn?为?的极大似然估计。又?不大于min?X1,?,Xn?，故?
因F?x,???易知fX??1??xe??t???dt?1?e??x???
???1n?n?x????,?nex,???i??0,?????x??,其他。?1?EX?1??所以E?*?1?1?????xfX?xi,??dx??1?1是?的有偏估计。 ，即?1n?是?的无偏估计。
xe??x???(2)EX??(3)D??*1???2?X?1是?的矩估计量且为无偏估计。 dx???1，则??1???1???D???1??EX2?EX?1??D???1?n????2?1n2 更有效。
?1?D??*?2??D?X?1??D?XD????1n*?2?1?D???，故??1*比?*?1??????1?(4)由切比雪夫不等式知，???0，P???2?1?1n?22?1
?2??????1?P???2?D???2?1?1n?2?1
*?1?2为?的相合估计。 故?与?16(1)EX?DX?EX2??0x2x?2dx?2?3?0，故??1?2x32X2为?的矩估计量，且为无偏估计。
2??EX?2??x2?2??2?? dx????18?3?