2.1.1 合情推理
学业分层测评 (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示：
图2-1-7
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 C．6n＋2
B．8n－2 D．8n＋2
【解析】 观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根??由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n－1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an＝6n＋2.
【答案】 C
2．数列－3,7，－11,15，?的通项公式可能是( ) A．an＝4n－7 B．an＝(－1)(4n＋1) C．an＝(－1)(4n－1) D．an＝(－1)
n＋1nn(4n－1)
n【解析】 当数列中负项、正项交替出现时，用(－1)来控制；若是正项、负项交替出现，则用(－1)
n＋1
来控制．
【答案】 C
3．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：
图2-1-8
那么下列4个图形中，
可以表示A*D，A*C的分别是( ) A．(1)，(2) C．(2)，(4)
B．(1)，(3) D．(1)，(4)
【解析】 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．
【答案】 C
4．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把(ab)与(x＋y)类比，则(x＋y)＝x＋y D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则(xy)z＝x(yz)
【解析】 A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)； B错误，因为sin(x＋y)＝sin xcos y＋cos xsin y；
C错误，如当n＝2时，若xy≠0，则(x＋y)＝x＋2xy＋y≠x＋y； D正确，类比的是加法、乘法的结合律． 【答案】 D 5．给出下列等式： 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， ?
猜测123 456×9＋7等于( ) A．1 111 110 C．1 111 112
B．1 111 111 D．1 111 113
2
2
2
2
2
nnnnn【解析】 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111. 【答案】 B 二、填空题
6．已知 ＝8·
2
2＋＝2· 32，33
3＋＝3·83，84
4＋＝4· 154，?.若15
8＋
ata(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________. t2
【解析】 由所给等式知，a＝8，t＝8－1＝63，∴a＋t＝71. 【答案】 71
11135
7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋?＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，
23n22观察上述结果，可推测一般的结论为__________.
3456
【解析】 ∵f(2)＝，f(4)>2＝，f(8)>，f(16)>3＝，∴由此可推测一般性的结论
2222为f(2)≥
nn＋2
2
. n【答案】 f(2)≥
n＋2
2
8．对于命题“如果O是线段AB上一点，则|OB|·OA＋|OA|·OB＝0”，将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0，将它类比到空间的情形应为：若
→→→→→→→O是四面体ABCD内一点，则有
________________________________________________．
【解析】 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为
→→→→VO-BCD·OA＋VO-ACD·OB＋VO-ABD·OC＋VO-ABC·OD＝0.
【答案】 VO-BCD·OA＋VO-ACD·OB＋VO-ABD·OC＋VO-ABC·OD＝0 三、解答题
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中： (1)三角形两边之和大于第三边． 1
(2)三角形的面积S＝×底×高．
2
1
(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.
2?
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
【解】 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
→→→→
1
(2)四面体的体积V＝×底面积×高．
3
1
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
4
10．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2-1-9(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图2-1-9
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
【解】 (1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2， f(4)－f(3)＝4×3，
?
f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)， f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．
∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋?＋(n－2)＋(n－1)] ＝2(n－1)·n， ∴f(n)＝2n－2n＋1.
[能力提升]
2
1．观察下列各式： 1＝1， 2＋3＋4＝3， 3＋4＋5＋6＋7＝5， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝7， ?
可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－2)＝n B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－2)＝(2n－1) C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－1)＝n D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－1)＝(2n－1)
【解析】 观察已知等式，第n个等式左边都是2n－1个数相加，第1个数是n，等式右边是(2n－1).由此可得一般结论为：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.
【答案】 B
2．已知x>0，由不等式x＋≥2
1
3xx414xx4
x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3··2＝3，?xx22x22x*
x我们可以得出推广结论：x＋n≥n＋1(n∈N)，则a＝( )
A．2n C．3n
1
【解析】 ∵x＋≥2
B．n D．n
n2
axxx·＝2，
x1
3xx4
x＋2＝＋＋2≥3··2＝3. x22x22x4
xx4
?
a由此猜想，x＋xn＝
xn个 n所以a＝n，选D. 【答案】 D
nnn＋xn≥n＋1，
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝
a2＋b2
2
，
将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.
【解析】 利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P-ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝a2＋b2＋c2
2
.
【答案】 在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则三棱锥P-ABC的外接球的半径为R＝
a2＋b2＋c2
2
*
4．如图2-1-10所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N，m≥2)．
图2-1-10
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，?时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式； (3)求a10，并说明a10表示的实际意义； (4)已知an＝9 900，问an是数列的第几项？
【解】 (1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，?时的士兵人数分别为12,20,30，?.故所求数列为6,12,20,30，?.
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，?，所以猜想an＝(n＋1)·(n＋2)，n∈N. (3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
*