《二次函数与一元二次方程关系》教学案例
安定区红土学校 刘丽花
一、教学目标：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会一元二次方程与二次函数之间的联系。
2．数形结合理解二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的的关系。 二、教学重点、难点： 教学重点：
1．体会一元二次方程与二次函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点：
1．探索一元二次方程与二次函数之间关系的过程。
2．理解二次函数与x轴交点与一元二次方程的根之间的关系。 三、教学方法：启发引导 合作交流 四：教具、课件 五、教学媒体：一体机 六、教学过程：
[活动1] 检查预习 ，引出课题 预习作业：
1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0;
2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解。 师生行为：教师用PPT出示预习作业，学生独立解答，小组核对交流，教师做出适当总结和评价。
教师重点关注：学生回答问题思路与方法，结论准确性。
设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用。1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程根的情况。2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计目的是让学生用类比的方法探究本课新知识。
[活动2] 创设情境 探究新知 问题
1．课本P41 问题.
2．结合图形指出，为什么有两个时间点球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间点球的高度是20m?
（结合预习题1，完成课本P41 观察中的题目。）
师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标之间的关系如下：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根等价于二次函数与X轴有两个交点（Δ=b2－4ac＞0），交点的横坐标就是一元二次方程的根。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相同的实数根等价于二次函数与X轴有一个交点（Δ=b2－4ac=0）交点的横坐标就是一元二次方程的根。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0有没有实数根等价于二次函数与X轴有没有交点（Δ=b2－4ac＜0）。
教师重点关注：
1．学生能否把实际问题准确地转化为数学问题。 2．学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用。
3．学生在探究问题的过程中，能否经历独立思考、认真倾听、获得信息、梳理归纳的过程，使解决问题的方法更准确。
设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，促使学生能积极地参与到数学活动中去，体会二次函数与一元二次方程的关系，学生通过小组合作、交流探究出二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的合作精神，积累学习经验。
[活动3] 练习反馈 ，巩固新知。 问题：（1） P43．习题 1、2。
师生行为：教师提出问题，学生独立思考后写出答案，师生共同评价；问题（2）学生独立思考后同桌交流，实物投影出学生解题过程，学生讲述解题思路，教师点拨。
教师关注：学生能否准确应用本节课的知识解决问题；学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，积累解题经验。
设计意图：这两个题目就是对本节课知识的巩固应用，让新知识内化升华，培养数
学思维的严谨性。
[活动4] 自主小结，深化提高。
1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？
2．这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。
师生活动：学生思考后回答，教师对学生的错误予以纠正，不足的予以补充，精彩的适当表扬。
设计意图：
1．促使学生反思在知识和技能方面的收获。
2．让学生反思自己的学习活动、认知过程，总结解决问题的策略，积累学习知识的方法，力求不同的学生有不同的发展。
[活动5] 分层作业，发展个性。
1．（必做题）阅读教材并完成P43 习题2、 3、4． 2．（备选题） PPT出示一道备选题。
设计意图：分层作业，使不同层次的学生都能有所收获，体会到成功的喜悦。 七、教学反思：
1．注重知识的获取过程与思想方法的应用。
《用函数的观点看一元二次方程》内容比较多，而在本节课中，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律遵循教师为主导、学生为主体的指导思想，本节课给学生布置的预习作业，从学生已有的经验出发引发学生观察、分析、类比、联想、归纳、总结获得新的知识，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态中，对新的知识的获取轻松自如。
探究抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系及其应用的过程中，引导学生观察图形， 从图象与x轴交点的个数与方程的根之间进行分析、猜想、归纳、总结，这是重要的数学中数形结合的思想方法，在整个教学过程中始终贯穿的是类比思想方法，这些方法的使用对学生良好思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发展也有一定的作用。
2．关注学生学习的过程
在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境，引导学生提出问题，给学生提供广阔的思考空间，活动空间，为学生搭建自主学习的平台，学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，
创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界。
3．强化行为反思
“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力”，本节课在教学过程中始终融入反思的环节，用问题的设计，课堂小结，课后的数学日记等方式引发学生反思，使学生在掌握知识的同时，领悟解决问题的策略，积累学习方法。
4．优化作业设计
作业的设计分必做题和选做题，必做题巩固本课基础知识，基本要求；选做题属于拓广探索题目，培养学生的创新能力和实践能力。
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