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2013年线性代数复习要点 同济大学第五版 免费
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确
?A可逆 ??r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0?? n????R,Ax??总有唯一解 ?ATA是正定矩阵 ??A?E ?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○
n?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关
?0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n ?注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解 ○
??=-a b?向量组等价??矩阵等价(?)?具有?反身性、对称性、传递性 ????矩阵相似(?)?矩阵合同(?)??√ 关于e1,e2,???,en：
①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量p教材87； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.
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a11行列式的定义 Dn?a12?a1na22?a2n??an2?ann?j1j2?jna21?an1?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
AO②若A与B都是方阵（不必同阶）,则
OOBA==A??AOBBO?AO?B?AB（拉普拉斯展开式）
BO?(?1)mnAB③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
?④关于副对角线：
a1na2n?1??OOa2n?1?an1a1n?(?1)On(n?1)2a1na2n?an1 （即：所有取自不同行不
an1同列的n个元素的乘积的代数和）
1x1⑤范德蒙德行列式：x121x22x2????12???xi?xj? xn1?j?i?n?xn?x1n?1n?1n?1x2?xn?a11?a21矩阵的定义 由m?n个数排成的m行n列的表A??????am1?A11?A??12????A1nA21?A22?A2na12a22?am2?a1n???a2n?称为m?n矩阵.记作：A??aij?或Am?n
m?n????amn?伴随矩阵 A?Aij*??TAn1???An2?，Aij为A中各个元素的代数余子式. ????Ann?√ 逆矩阵的求法:
主?换位?ab?1?d?b?A??1注?① A? ○： ? ???cd?caad?bcA副?变号????超经典 下载后可编辑
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初等行变换②(A?E)?????(E?A?1)
?a1?③???a2?1?a1??1?????a3????mn1a2????? ???a1??3a3? (Am)n?(A)mn
a2?1?a1????????1?a??11a31a2??? ???√ 方阵的幂的性质：AA?Am?n√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，
则AB?Cm?s?b11b12?b1s???bb?b21222s???c1,c2,?,cs??A?i?ci ，(i?1,2,?,s)??i为???1,?2,???,?n?????????bb?bns??n1n2Ax?ci的解?A??1,?2,???,?s???A?1,A?2,???,A?s???c1,c2,?,cs??c1,c2,?,cs可由?1,?2,???,?n线性表
示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.
T?a11?a21即： ?????an1a12a22?an2?a1n???1??c1??a11?1?a12?2???a1n?2?c1??????a??a????a??c?a2n???2??c2??2112222n22? ?????????????????????amn???n??cm??am1?1?am2?2???amn?2?cm√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
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?AB??AT√ 分块矩阵的转置矩阵：????T?CD??B?A?1?A?分块矩阵的逆矩阵：????B????A?1?AC??????OB??O?1?1TCT? T?D??? ??B?1??BA??????1??A?1?1B?1?? ??A?1A?1CB?1?O??AO?? ???1?1? ??B?B??CB???BCA?A11分块对角阵相乘：A?????B11?,B??A22????A11B11??AB??B22??n?n?A11?,A??A22B22??? n?A22?超经典 下载后可编辑
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?A??BA*分块对角阵的伴随矩阵：????B???*?? ??AB*??BA?????mn????(?1)BA*(?1)mnAB???? ?√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B (I)的解法：构造(A?B)?????(E?X)
初等行变换(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT， 用(I)的方法求出X，再转置得XT
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示.
向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.
⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
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对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.
矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)?r 向量组的秩 向量组?1,?2,?,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(?1,?2,?,?n)
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?B 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A?向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n?
? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B),A,B为同型矩阵??A,B作为向量组等价,即：秩相
等的向量组不一定等价.
矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解
?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n).
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.
向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价；
p教材94,例10
? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关；
若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关. √ 矩阵的秩的性质：
①若A?O?r(A)≥1 若A?O?r(A)?0 0≤r(Am?n)≤min(m,n)
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