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②r(A)?r(AT)?r(ATA) p教材101,例15
③r(kA)?r(A) 若k?0
④若Am?n,Bn?s,若r(AB)?0?? ⑤r(AB)≤min?r(A),r(B)?
?r(A)?r(B)?n
?B的列向量全部是Ax?0的解⑥
若A可逆?r(AB)?r(B)若B可逆?r(AB)?r(A) 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
??Ax?? 只有零解???r(AB)?r(B) ⑦若r(Am?n)?n??；
?AB?O?B?O??A在矩阵乘法中有左消去律?????AB?AC?B?C??若r(Bn?s)?n???r(AB)?r(B)
?B在矩阵乘法中有右消去律.O??Er?等价，称?O??OO??为矩阵A的等价标准型. O??Er⑧若r(A)?r?A与唯一的??O⑨r(A?B)≤r(A)?r(B) max?r(A),r(B)?≤r(A,B)≤r(A)?r(B) p教材70 ⑩r??AO??OA??AC? ??r(A)?r(B)r??????r(A)?r(B)
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????n???可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??有解?r(A)?r(A??)????n???当A为方阵时?Ax??有无穷多解??????A?0 ?表示法不唯一??1,?2,?,?n线性相关?Ax?0有非零解 当A为方阵时?Ax??有唯一组解??????A?0?克莱姆法则?表示法唯一 ??1,?2,?,?n线性无关?Ax??只有零解 ??r(A)?r(A??) ??不可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(A??) 教材72??r(A)?1?r(A??) 讲义87?Ax??有无穷多解注：○
?其导出组有非零解??Ax??有唯一解?其导出组只有零解 ??
线性方程组的矩阵式 Ax?? 向量式 x1?1?x2?2???xn?n??
?a11?a21?A?????am1a12a22?am2?a1n???1j??x1??b1??????????a2n?xb2j22?,j?1,2,?,n ,x???,???? ?j????????????????????????amn?xb?n??m??mj??x1???x2???? (?1,?2,?,?n)??????xn?超经典 下载后可编辑
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矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的性质： (AT)T?A (AB)T?BTAT (kA)T?kAT AT?A (A?B)T?AT?BT (A?1)T?(AT)?1 (AT)??(A?)T (A?1)?1?A (A?)??An?2(AB)?1?B?1A?1 (kA)?1?k?1A?1 A (AB)??B?A? A?1?A ?1(A?B)?1?A?1?B?1 (A?1)k?(Ak)?1?A?k (A?B)*?A*?B* (A?1)??(A?)?1?AA(kA)??kn?1A? A??An?1 (Ak)??(A?)k ?n 若r(A)?n ?r(A?)??1 若r(A)?n?1 ?0 若r(A)?n?1 ?AB?AB kA?knA Ak?A kA?B?A?B AA??A?A?AE（无条件恒成立） 超经典 下载后可编辑
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?(1) ?1,?2是Ax??的解,?1??2也是它的解???(2) ?是Ax??的解,对任意k,k?也是它的解??齐次方程组?(3) ?,?,?,?是Ax??的解,对任意k个常数?12k???? ?1,?2,?,?k, ??11??2?2??k?k也是它的解????线性方程组解的性质：?(4) ?是Ax??的解,?是其导出组Ax??的解,???是Ax??的解
?(5) ?,?是Ax??的两个解,???是其导出组Ax??的解1212??(6) ?2是Ax??的解,则?1也是它的解??1??2是其导出组Ax??的解??(7) ?1,?2,?,?k是Ax??的解,则? ????????也是Ax??的解???????11122kk12k??11??2?2??k?k是Ax?0的解??1??2??k?0? ??√ 设A为m?n矩阵,若r(A)?m?r(A)?r(A??)?Ax??一定有解，
当m?n时,一定不是唯一解? m是r(A)和r(A??)的上限.
方程个数未知数的个数?,则该向量组线性相关.
向量维数向量个数√ 判断?1,?2,?,?s是Ax??的基础解系的条件： ① ?1,?2,?,?s线性无关； ② ?1,?2,?,?s都是Ax??的解；
③ s?n?r(A)?每个解向量中自由未知量的个数.
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
√ 若?是Ax??的一个解，?1,?,?,?s是Ax??的一个解??1,?,?,?s,??线性无关 √ Ax??与Bx??同解（A,B列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
??A?√ 两个齐次线性线性方程组Ax??与Bx??同解?r???r(A)?r(B).
?B?超经典 下载后可编辑
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?A???√ 两个非齐次线性方程组Ax??与Bx??都有解，并且同解?r???r(A)?r(B).
B????√ 矩阵Am?n与Bl?n的行向量组等价?齐次方程组Ax??与Bx??同解?PA?B（左乘可逆矩阵P）；p教材101 矩阵Am?n与Bl?n的列向量组等价?AQ?B（右乘可逆矩阵Q）. √ 关于公共解的三中处理办法：
① 把(I)与(II)联立起来求解；
② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；
当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设?1,?2,?3是(I)的基础解系, ?4,?5是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解?基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.
即：r(?1,?2,?3)?r(?1,?2,?3?c1?4?c2?5)
当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设?1?c1?1?c2?2是(I)的通解，?2?c3?3是(II)的通解，两方程组有公共解??2?c3?3??1可由?1,?2线性表示. 即：r(?1,?2)?r(?1,?2??2?c3?3??1)
③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共
解。
标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量???a1,a2,?,an?与???b1,b2,?,bn?的内积 (?,?)?TT?ab?iii?1na1b1?a2b2???anbn ?与?正交 (?,?)?0. 记为：???
向量???a1,a2,?,an?的长度 T22 ??(?,?)??ai2?a12?a2???ani?1n?是单位向量 ??(?,?)?1. 即长度为1的向量.
√ 内积的性质： ① 正定性：(?,?)?0,且(?,?)?0???? ② 对称性：(?,?)?(?,?)
③ 双线性：(?,?1??2)?(?,?1)?(?,?2) (?1??2,?)?(?1,?)?(?2,?)
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