第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.(2013·兰州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，π
|φ|<2的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向π
右平移6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为
( )．
A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x π??
D．y＝sin?2x－6?
??
2π??
C．y＝sin?2x＋3?
??
311ππ3π2π
解析 由所给图象知A＝1，4T＝12－6＝4，T＝π，所以ω＝T＝2，由ππ?ππππ???2×＋φ2x＋?＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin?sin?，则f(x)66?2326????π?π?
＝sin?2x＋6?的图象向右平移6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y＝
??π???π?π?x－6?＋?＝sin?2x－6?，故选D. ?sin?2?
?6?????答案 D
2．(2013·东营模拟)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为 π
A.6
π
B.3
π
C.4
( )．
πD.12
解析 将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝sin 2(x＋φ)ππ
＝sin(2x＋2φ)的图象，由题意得2φ＝2＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值为4. 答案 C
3．(2012·浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是
( )．
解析 把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cos x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象，故选A. 答案 A
?π??π?4．已知f(x)＝sin?x＋2?，g(x)＝cos?x－2?，则下列结论中正确的是 ( )．
????A．函数y＝f(x)·g(x)的周期为2 B．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为1
π
C．将f(x)的图象向左平移2个单位后得到g(x)的图象 π
D．将f(x)的图象向右平移2个单位后得到g(x)的图象 ?π?解析 ∵f(x)＝sin?x＋2?＝cos x，
???π??π?
g(x)＝cos?x－2?＝cos?2－x?＝sin x，
????1
∴y＝f(x)·g(x)＝cos x·sin x＝2sin 2x.
2π1
T＝2＝π，最大值为2，∴选项A，B错误．
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
π
5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ<2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________. T7πππ2π
解析 因为4＝12－3＝4，所以T＝π，ω＝T＝2.73π?7π?
将?12，－1?代入解析式可得：6π＋φ＝2kπ＋2(k??πππ∈Z)，即φ＝2kπ＋3(k∈Z)，又0<φ<2，所以φ＝3. π
答案 2 3 π??
6．(2012·长沙调研)已知函数f(x)＝3sin?ωx－6?(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的
??π??
图象的对称轴完全相同，若x∈?0，2?，则f(x)的取值范围是________．
??解析 ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，π?πππ5π?
∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin?2x－6?，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴2666??π?π?13???3?
－2≤sin?2x－6?≤1，∴－2≤3sin?2x－6?≤3，即f(x)的取值范围是?－2，3?.
???????3?
答案 ?－2，3?
??三、解答题(共25分)
π??
ωx－?7．(12分)(2012·陕西)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图6???π
象相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求函数f(x)的解析式；
π??α??0，(2)设α∈?2?，f?2?＝2，求α的值． ????
解 (1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2， π
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2， ∴最小正周期T＝π，
π??
∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin?2x－6?＋1.
??π?π?1?α???
(2)f?2?＝2sin?α－6?＋1＝2，即sin?α－6?＝2， ??????ππππ∵0<α<2，∴－6<α－6<3， πππ∴α－6＝6，故α＝3.
A
8．(13分)(2012·山东)已知向量m＝(sin x,1)，n＝(3Acos x，2cos 2x)(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6. (1)求A；
π
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩5π?1?
短为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在?0，24?上
??的值域．
A
解 (1)f(x)＝m·n＝3Asin xcos x＋2cos 2x π??3?1?
＝A?sin 2x＋cos 2x?＝A sin?2x＋6?.
??2?2?因为A＞0，由题意知A＝6. π??
(2)由(1)知f(x)＝6sin?2x＋6?.
??
π
将函数y＝f(x)的图象向左平移12个单位后得到 π?π?π???
x＋12?＋?＝6sin?2x＋3?的图象； ?y＝6sin?2?
?6?????
1
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝π??4x＋6sin?的图象． 3???π??
因此g(x)＝6sin?4x＋3?.
??
5π?π?π7π??
因为x∈?0，24?，所以4x＋3∈?3，6?，
????
5π??
故g(x)在?0，24?上的值域为[－3,6]．
??
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2012·潍坊期末)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为?31?
P0?，?，当秒针从P0(注：此时t＝0)?22?
正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为 π??π
A．y＝sin?30t＋6?
??
( )．
π??π
B．y＝sin?－60t－6?
??π??π
D．y＝sin?－30t－3?
??
π??π
C．y＝sin?－30t＋6?
??
π
解析 由题意可得，函数的初相位是6，排除B，D.又函数周期是60(秒)且秒ππ?2π?
针按顺时针旋转，即T＝?ω?＝60，所以|ω|＝30，即ω＝－30，故选C.
??答案 C
?π?
2．(2012·东莞二模)若函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0)的图象关于点M?3，0?对
??π
称，且在x＝6处函数有最小值，则a＋ω的一个可能的取值是 A．0
B．3
C．6
D．9
( )．
解析 因为函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0)＝1＋a2·sin(ωx＋φ)的图象关于ωπ
＋φ＝kπ，??3ππ??
点M?3，0?对称，且在x＝6处函数有最小值，所以必有???ωππ
＋φ＝2nπ－??62，
ωππ
k，n∈Z，两式相减得：6＝(k－2n)π＋2，即ω＝6(k－2n)＋3＝6m＋3，k，n，m∈Z，结合四个选项，ω可能取到的值是3或9.将ω＝6m＋3，k，n，m∈Z代入f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0)，得y＝sin(6m＋3)x＋acos(6m＋3)x.当图象关