所以?的分布列为：
-----------------------------------------------------------------11分 故?的期望E??0?14?1?512?2?1156?3?6?4．-------------------------------12分 19解：（1）证明：因为?DAB?60?，AB?2AD，
由余弦定理得BD?3AD?3. .............（2分）
从而BD2?AD2?AB2，故BD?AD. .............（3分）
?PD?面ABCD,BD?面ABCD，?PD?BD............（4分）
又AD?PD?D,
所以BD?平面PAD. .............（5分） 故PA?BD. .............（6分）
（2）如图，以D为坐标原点，射线DA，DB，DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，A(1,0,0),B(0,3,0),C(?1,3,0),P(0,0,1)．
???AB??(?1,3,0),???PB??(0,3,?1)，???BC??(?1,0,0) .........（8分）
设平面PAB的法向量为?n?(x,y,z)，
则????????n???n????AB?0PB??0 ?即????x?3y?0z?0 ??3y?因此可取?n?(3,1,3)． .............（10分）
设平面PBC的法向量为?m?，则????m?????PB??0??????? ?m?BC?0可取?m??(0,?1,?3) ...............（12分）
则cos?m?,?n??42727??7 故钝二面角A－PB－C的余弦值为－277
. ...............（14分）
20解：（1）设B(xx200,y0)，则C(?x0,?y0)，4?y20?1 则
12x0y0y0y014??2?2??． ????4分 所以k1k2?x0?2x0?2x0?4x0?2421??y?k1(x?2)2222（2）联立?2得(1?k)x?4kx?4(k?1)?0， 1112?x?y?42(k12?1)?4k1解得xP?， ,y?k(x?2)?P1P1?k121?k12?y?k1(x?2)?联立?x2得(1?4k12)x2?16k12x?4(4k12?1)?0，
2??y?1?42(4k12?1)?4k1解得xB?， ????8分 ,y?k(x?2)?B1B1?4k121?4k12yB?2k?21，kPQxB4k1?1所以kBC??4k1yP1?k12?5k1， ???62(k12?1)64k12?1xP??51?k125555kBC，故存在常数??，使得kPQ?kBC． ????10分 22268（3）当直线PQ与x轴垂直时，Q(?,?)，
558?5?1?k，所以直线AC必过点Q． 则kAQ?262??25所以kPQ?当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：y??5k16(x?)，
4k12?15?5k16?2y?(x?)?2(16k?1)16k1?214k1?15，解得xQ?联立?， ,y?Q2216k?116k?111?x2?y2?4?16k116k12?11????k2，故直线AC必过点Q． ????16 分 ?2(16k12?1)4k1?216k12?1所以kAQ（不考虑直线PQ与x轴垂直情形扣1分） 21.（1）证明：要证f(x)?3?44?2?0，--------------------1分 ，即证lnx?x?1x?1414(x?1)2?2,则m?(x)??令m(x)?lnx???0.------------3分 x?1x(x?1)2x(x?1)2∴m(x)在(1,??)单调递增，?m(x)?m(1)?0，
44?2?0，即f(x)?3?成立．----------------------4分 x?1x?1x?1,---------------------------------------5分 （2）解法一：由f(x)?x且x?(1,e)可得a?lnx?lnx?令h(x)?x?1,h?(x)?lnxlnx?1?(lnx)21x,---------------------------------------------------------6分
114(x?1)2由（1）知lnx?1??1????0,-----------------------------------8分
xxx?1x(x?1)?h?(x)?0,函数h(x)在(1,e)单调递增，当x?(1,e)时，h(x)?h(e)?e?1, ?a?e?1．----------------------------------------------------------9分
【解法二：令h(x)?alnx?1?x，则h'(x)?aa?x?1?，-------------------5分 xx当a?e时，h'(x)?0，函数h(x)在(1,e)上是增函数，有h(x)?h(1)?0，------6分 当1?a?e时，∵函数h(x)在(1,a)上递增，在(a,e)上递减，
对?x?(1,e)，f(x)?x恒成立，只需h(e)?0，即a?e?1．---------------7分 当a?1时，函数h(x)在(1,e)上递减，对?x?(1,e)，f(x)?x恒成立，只需h(e)?0， 而h(e)?a?1?e?0，不合题意，-----------------------------------------------------------8分 综上得对?x?(1,e)，f(x)?x恒成立，a?e?1．------------------------9分 【解法三：由f(x)?x且x?(1,e)可得由于
1lnx?,---------------5分 ax?1lnx表示两点A(x,lnx),B(1,0)的连线斜率，-----------------6分 x?1lnx由图象可知y?在(1,e)单调递减，
x?1lnxlne1??,--------------------------------8分 故当x?(1,e)时，
x?1e?1e?111?0??即a?e?1-------------------------------------------------9分
ae?1n?1111（3）当a?时，f(x)?lnx?1.则?f(i)?ln(n?1)!?n，
222i?2要证
?f(i)?2(n?1?i?2n?1n?1)，即证?lni?2n?4?4n?1--------------------10分
i?2n?1由（1）可知ln(n?1)?2?4,又 n?2n?2?(n?1)?1?2n?1?n?1?n,?∴ln(n?1)?2?44?,-------------11分 n?2n?1?n4?2?4(n?1?n),
n?1?n∴ln2?ln3???ln(n?1)?2n?4[(2?1)?(3?2)???(n?1?n)]=2n?4?4n?1，
-------------------------------------------13分
故
?f(i)?2(n?1?i?2n?1n?1)得证．------------------------------------------14分
（2）若f(x)?4对x?R恒成立，求a的取值范围。
（22）解：
（Ⅰ） 连结ON，则ON?PN，且?OBN为等腰三角形，则
?OBN??ONB，??PMN??OMB?90???OBN，?PNM?90???ONB
??PNM，?PM?PN． ??3分 ??PMN由条件，根据切割线定理，有 PN?PA?PC，所以PM?PA?PC．??5分 （Ⅱ）OM?2，在Rt?BOM中，BM?OB2?OM2?4． 延长BO交⊙O于点D，连结DN．由条件易知
22 B ?BOM∽?BND，于是
即
BOBM?， BNBD C M O A N P
234，得 BN?6． ??8分 ?BN43
所以MN?BN?BM?6?4?2． ??10分 （23）解：
（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得
D 7t2?12t?5?0
设A，B对应的参数分别为t1,t2，则 t1?t2?22125,t1t2??． ??3分 772所以AB?(?3)?(?4)t1?t2?5(t1?t2)?4t1t2?
1071． ??5分 7（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(?2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的
t1?t26?． ??8分 27所以由t的几何意义可得点P到M的距离为
参数为
PM?(?3)2?(?4)2?（24）解:：
630?． ??10分 77（Ⅰ）x?1?x?4?5等价于
?x?1?1?x?4?x?4 或 或， ?????2x?5?5?2x?5?5?3?5解得：x?0或x?5．
故不等式f(x)?5的解集为{xx?0或x?5}． ??5分
（Ⅱ）因为: f(x)?x?1?x?a?(x?1)?(x?a)?a?1（当x?1时等号成立） 所以：f(x)min?a?1 ??8分
由题意得：a?1?4， 解得a??3或a?5． 即所求a的取值范围是aa??3,或a?5
??