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答案解析
222
1.【解析】将“a+b+2ab=(a+b)”改写成全称命题是
“?a,b?R，a2?b2?2ab??a?b?”.答案:
2.【解析】表示部分的量词是“有的”. 答案:有的
2
?a,b?R，a2?b2?2ab??a?b?2sin23.【解析】对于p1:因为
xx?cos2?1,22所以对于x∈R,不存在x满足
sin2xx1?cos2?.222 x????,y?0时,sin(?0)?sin?sin0?1.222 对于p2:当1?cos2x1?(1?2sin2x)??sin2x?sinx.22对于p3:当x∈［0,π］时,sinx≥0,所以
sinx?cosy?x?y?2k??对于p4:?(k?Z).2 答案:p1,p4 4.【解析】注意命题分为有和没有全称量词两种情形，没有全称量词时，注意理解命题中的字母或式子的取值范围. 答案:①②④ 【误区警示】本题易出现只选④,原因是①②没有明显的全称量词. 【举一反三】本题条件不变，找出其中的存在性命题，并判断真假. 22【解析】命题③是存在性命题，且为真命题，因为当x=1，y=0时，x+y=1≤1成立
再如x??1,y?0或x?0，y??1或x?(
22,y?等22). 5.【解析】命题(1)在x<0时，结论不成立，为假命题；命题(2)当A=30°时，B=60°，A+B=90°,
312,,1,符合条件，结论不成立，为假命题；命题(3)如数列22 符合条件，结论不成立，为假命题；命题(4)根据直线平行的充要条件可以判断为真命题. 答案:(4)
6.【解析】①③是全称命题，②是存在性命题且是真命题，④是存在性命题，是假命题. 答案:②
a?7.【解析】若p真，则
12，若q真，即4a2+4(8+6a)≥0,∴a≤-4或a≥-2,因为p与q
1a??4或?2?a?.2 都是真命题，∴
6
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1(??，?4］［?2，］2 答案:
22?x?R，x?Q；?x?R，x?x；?x?Q，x?Q；8.【解析】(1) (2)(3)
(4)
?x?R，x?eRQ.
9.【解题指南】先确定p真，q真时a的范围，再判断p和q的真假情况有两种，最后求解
得结论.
【解析】解题流程:
10.【解析】(1)命题p中的全称量词是:“任意”，“都”. (2)命题p:“对f?x??x?4x在(-∞,0)内的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时，都有f?x??x?4x,x∈(-∞,0)是增函数”； f(x1)＜f(x2)成立，则函数举反例法:取x1??2，x2??111f?x1???4，f?x2???12x1＜x2，?4＞?123,则3，3，由得f(x1)＜f(x2)不成立，所以命题p为假命题.
【规律方法】命题中的全称量词与存在量词的应用
(1)本题中命题p的全称量词是指两个自变量的值，符合条件x1＜x2的所有的数组x1,x2；将函数f(x)换为具体的函数时，所表示的命题的真假需要判断.验证“对定义域(-∞,0)内的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时，是否有f(x1)＜f(x2)成立”，若成立，则是真命题；若不成立，则是假命题.还可以通过找到一个反例来说明不是真命题.
(2)命题中有两处全称量词，第一个量词是对自变量的限制，第二个量词是对结论的限制；把命题中的f(x)换为具体的函数即可.
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（2）
一、填空题
1.(2012·南通高二检测)命题p:?x?R,x2?4x?1?0,则﹁p:__________.
2.(2012·连云港高二检测)命题“?x?R,x2?2?0”的否定是________命题(填“真”或“假”).
3.下列有关命题的说法正确的是________.
22
(1)命题“若x=1则x=1”的否命题为:若x=1则x≠1
2
(2)命题“至少有一个实数x，使x＞0”的否定是存在性命题
(3)命题“?x?R，使得x?x?1＜0”的否定是: “?x?R，均有x?x?1＜0”(4)命题“对数函数在定义域上是单调函数”的否定是假命题
4.已知命题p:?x?R，mx?1?0；命题q:?x?R，x?mx?1＞若p∨q为假命题，0；则实数m的取值范围是________.
5.写出命题“a和b都不是偶数”的否定_______. 6.命题“存在实数x，y，使得x+y＞1”，用符号表示为_________；此命题的否定是_______(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”). 7.给出两个命题:
22
命题甲:关于x的不等式x+(a-1)x+a≤0的解集为?， 2x
命题乙:函数y＝(2a-a)为增函数.
若命题甲的否定与命题乙中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是___. 二、解答题
8.(2012·南京高二检测)写出下列命题的否定: (1)若2x>4,则x>2;
(2)可以被5整除的整数，末位是0； (3)被8整除的数能被4整除；
(4)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等. 9.已知命题p:?x?命题q:?x?R,使得x??a?1?x?1＜［1,2］，x?a?0；0.若“p∨
222222q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围.
2
10.已知f(x)=ax+bx+c的图象过点(-1,0)，是否存在常数a,b,c，使不等式
1?x2x?f?x??对一切实数x都成立？
2
8
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答案解析
1.【解析】所给命题p是存在性命题，其否定为全称命题，即?p:?x?R,x2?4x?1?0.答案:?x?R,x2?4x?1?0
2.【解析】所给命题是全称命题且为真命题，故其否定是假命题. 答案:假
2
3.【解析】对(1)，否命题是:若x≠1则x≠1. 对(2)，存在性命题的否定是全称命题. 对(3)，命题的否定是:?x?R，x?x?1?0. 对(4)，命题的否定是:存在一个对数函数在定义域上不是单调函数，是假命题，故(4)正确. 答案:(4) 4.【解析】因为p∨q为假命题，所以命题p，q都是假命题，所以命题?p，?q都是真命2题，命题?p:?x?R，mx?1＞0，所以m≥0；命题q:?x?R，x?mx?1＞0为真时，22-2＜m＜2，所以命题?q:?x?R，x2?mx?1?0为真时，m≥2或m≤-2；所以m≥2. 答案:m≥2 【举一反三】本题条件“p∨q为假命题”变为“p∧q为真命题”，求实数m的取值范围? 【解析】因为p∧q为真命题，所以命题p，q都是真命题，由原题的解法知，命题?p:?x?R，mx2?1＞0为真，则m≥0，所以当命题?p为假时m＜0，即命题p是真命0为真时，-2＜m＜2， 题时，m＜0；命题q:?x?R，x?mx?1＞所以命题p，q都是真命题，则有-2＜m＜0， 即实数m的取值范围是{m|-2＜m＜0}. 5.【解析】在a，b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故其否定为a和b至少有一个是偶数. 答案:a和b至少有一个是偶数 6.【解析】原命题为真，所以它的否定为假.也可以用线性规划的知识判断. 21答案:?x，y?R，x?y＞ ?x，y?R，x?y?1 假 7.【解题指南】先判断命题甲和乙必然是同真同假的. 【解析】若命题甲的否定为真命题，则Δ＝(a-1)-4a≥0，解得?1?a?.若命题乙为真22132
＜?命题，则2a-a＞1，即a＞1或a1.当命题甲的否定为真命题,乙为假命题时2，?11?a?，当命题甲的否定为假命题,乙为真命题时，a＞1或a＜-1，故a的取值范围为2311?a?. 23a＞1或a＜-1或?9
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答案:a＞1或a＜-1或?11?a? 238.【解析】(1)若2x>4,则x≤2.
(2)存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0. (3)存在一个数能被8整除，但不能被4整除.
(4)若一个四边形是正方形，则它的四条边不全相等.
2
9.【解析】p真，则a≤1,q真，则Δ=(a-1)-4＞0，即a＞3或a＜-1, ∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p,q中必有一个为真，另一个为假， 当p真q假时，有?1，?a?1，?a＞,得-1≤a≤1，当p假q真时，有? ??1?a?3?a＞3或a＜?1,得a＞3, ∴实数a的取值范围为{a|-1≤a≤1或a＞3}. 10.【解题指南】对于该类题目,可以先假设存在常数a,b,c,然后求解. 【解析】假设存在常数a,b,c使命题成立， 因为f(x)的图象过点(-1,0)，所以a-b+c=0， 1?x2又x?f?x??对一切实数x都成立， 2所以当x=1时，有1≤a+b+c≤1， 所以a+b+c=1，所以b?11，c??a， 22所以f?x??ax?211x??a， 22111?x2即x?ax?x??a?对一切实数x都成立， 22221?21ax?x??a?0,?所以?对一切实数x都成立 222??(1?2a)x?x?2a?01?1?4a（?a）?0，?42?111211???1?8a(1?2a)?0，解得a?，c?，所以f?x??x?x?， 44424?a?0，?1?2a?0，??111?x2所以存在一组常数a,b,c，即a?c?，b?，使得不等式x?f?x??对一切实数
422x都成立.
【规律方法】存在性问题的一个解题技巧：存在性问题就是一个存在性命题的真假判断问题，求解时，通常是假设存在符合条件的值，然后进行变形、化简，等价转化进行求解，或进行推理证明.当求出答案就说明存在,否则就是不存在.
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